Das Formelwesen der Mathematik und Sachwissenschaften
– Was eigentlich hat es da mit dem „Gleichheitszeichen“ auf sich? –
– Wie ist das „Formelwesen“ selbst mit dem »Rest des Puzzles WELT« verzapft? –
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– Entwurf aus der Website zum »Unterfangen Weltpuzzle«® -- https://kognik.de
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--> Puzzle WELT --> Methodisches --> Wissensträgertyp
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--- Achtung: Bisher bloß über Andeutungen
zu diesem ‚Plankegel’ / „Tortenstück des Großen GANZEN“ formuliert – unvollkommen
in deren Ausfüllung mit den „dort lokal“ vorhandenen ‚Wissbarkeiten‘.
Nur einiger der „Hyperlink-Anker“ wegen schon jetzt mit in die Webpräsenz aufgenommen.
--- Bitte nicht von A bis Z „als laufenden
Text“ durchlesen!
--- Eher
durchblättern!
Wortfeld: Die gerade gemeinten Merkmale; ‚Wissensträger‘ sein; Gleichungen / Gleichungssysteme / Gleichungswesen; Mathematische Formeln + „Die wichtigsten Eigenschaften von Formeln“; ihr „Wirkprinzip“; „anders aussehen“: aber „nichts Neues“; Mathematische Symbole; als „Kognitiver Platsch“ daherkommen; Formelsammlungen (mathematisch / physikalisch / technisch / statistisch / ...); Arithmetik + Algebra; Summe / Differenz / Produkt / Bruch; Wurzel; Differential + Integral; Bedingungen; Konstruktionsvorschrift; Algorithmus; Zahlenraum; Geometrischer Raum; Mathematische Räume; Mathematische Funktion; Mathematische Mengen; Variierbarkeit + Die Variablen (unabhängige / abhängige); Term; Faktor; Koeffizient; Parameter; Die jeweilige Argumentliste; Vektorrechnung; Matrizenkalkül; Tensor-Rechnung; Dimensions-Analyse; ...; Das (rechnerische / …) Gleichheitszeichen + Die rechte / linke Seite der Formel; Operator; Addition + Subtraktion; Multiplikation + Division; „Dreisatz“; Potenzierung + Wurzelziehen; Mathematische Folgen; ...; Punkt; Kurve; Körper; vergleichen; gleichwertig sein; übertragbar; offen / geschlossen; Identität; Beweis; Berechenbarkeit; Berechnung; Rechenprozedur; Die (jeweilige) Lösung; Entwicklung; Raum + Zeit; Die Dynamik in Bewegungen und Geschehen; Stabiles / Instabiles Gleichgewicht; Maximum / Minimum / Wendepunkte; Nullstelle; ...; Transformation + Transformationsgesetze; Konstanthaltung; Banalität; Die Umkehrfunktion; ...; ...; Unifizierung; „Invarianzen“ + „Geltungsbereiche“; „Beweis“; „Formale Logik“; Induktion + Deduktion; ...; ...; Grad der Isomorphie zum Original WELT / zu einem gemeinten ‚Weltausschnitt’; Simulation; „Das Apfelmännchen“ als »Abstraktionskegel«; Infinitesimalrechnung + Differentialrechnung; Stammfunktion; Differentialgleichungen; Differential-Quotient; Aneinanderreihung von Prozessen; Permutation; Reihenfolge von Operationen; Klammerung; (Nicht)-Kommutativität + ...; Galois-Theorie; Äquivalenzrelation + Äquivalenzklassen; Die Statusgleichung; Feldgleichung + Zustandsgleichung; kontinuierlich versus: diskret; Prognostizierbarkeit; Einflussfaktoren; Unbekannte; (nicht) repräsentiert sein; Algebraische Umformungen; Gemeinsamer Nenner; Definitionsbereich; Pfad-Analyse; Mathematisch ausgedrückte Kausalität; ...; ...
Jedem Wortfeld sein eigener hochabstrakter „Zentraler Hub“!
Vgl. aus der lokalen kognitiven Nachbarschaft: \in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘ ˄ versus: ‚Das Abbildungsseitige‘ ˅ ; \‚Weltausschnitte‘ – als solche + \deren grundsätzliche ‚Durchzoombarkeit‘; \Die „Palette“ der verfügbaren ‚Wissensträgertypen‘ – (für ihre Beschreibung); \Symbolik + verwendete „Symbole“; \„Bedeutung“, „Sinn“ + Sinngebung; \zum ‚Verzapfungs-Geschehen‘ im Puzzle-Paradigma; \zur ‚Vererbbarkeit + Ererbung von Merkmalen‘ im / aus dem »Kognischen Raum« (= Modalität: „Notwendigkeit“); \„Logik“ + Deduzierbarkeit; \„Mathematik“ – als solche; \Das ‚Mathiversum‘ – seine ‚Unifizierung zum »Abstraktionskegel«‘; \„Platzhalterwesen“ + „Planquadrate“ / ‚Plankegel‘ – im »Kognischen Raum«; \Die ‚Zähl‘-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Änderungen“ bei: <... / ...> – ein systemisches Merkmal; \„Konstanz“ – als solche; \zum extra: ‚Abgrenzungsschritt‘ – bei der „Definition von Objekten“; \zur ‚Aufspannung‘ des jeweiligen Diskurs- + LEGE-Raums; \‚Achserei‘-Arbeit – als solche + \‚Blumengrafik‘ – ein lokal unifizierender ‚Wissensträgertyp‘; \G. H. Hardy: „A Mathematician’s Apology“; \„Chaostheorie“ – Der Schmetterlingseffekt; \„Transformationen“ – ihre Phänomene + Gesetze; \‚Finite Elemente‘-Technik – auch im »Kognischen Raum«!; \(zum auch abbildungsseitigen Erhalt des originalseits angetroffenen Merkmals): »Einsheit in Vielheit«; \zur ‚Vielheit‘ innerhalb solch einer »Einsheit«‘; \Das »Referenzideal der Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \zur ‚Raum‘-Flanke + \zur ‚Zeit‘-Flanke des »Referenzideals«; \(moderne Theorien) zum „Tortenstück“: ‚Die Welt der Materie + Energie‘; \„Kontext sein“ – als Merkmal; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \zum ‚Fingerabdruckwesen‘ im »Kognischen Raum« – hier: speziell im Diskursraum der Mathematik; \‚Brennweite‘ + ‚Tiefenschärfe‘ im »Kognischen Raum« – zwei freie Variable; \all die im »Kognischen Raum« angetroffenen ‚Nachbarschaftsbeziehungen’; \zur „Prognostizierbarkeit“ + ihren Möglichkeiten + ihren Problemen; \...; \...
Systemische Grafik und Beispiele: \Prinzipgrafik: „Zentraler Hub“ im Netzwerk – in Draufsicht; \allerlei ‚Arten von Wissensträger‘; \ein Fall von „Falscher Gewissheit“; \Elektro-Magnetismus – Die „Maxwellschen Gleichungen“; \Unterschiedliche ‚Schreibweisen / Formeln / Notationen‘ für ein und denselben Zusammenhang; \Das „Apfelmännchen“ – \Das MANPWIN-Programm dazu + \Diaschau: „Zoomfahrt durch das Apfelmännchen“; \„Achill & die Schildkröte“ + \Prinzipgrafik dazu; \„Aufschlüsselungsoptionen“ – (diesmal für den vorab fest umrissenen Weltausschnitt „Mathematik & Co.“ anzuwenden); \Paradeobjekt aus „Finiten Elementen“; \(zur abnehmenden) Produktivität der Forschung; \Symbole der Algebra; \...
Literatur: dtv-Atlas Mathematik; ...;
Mario Livio: „The Equation that couldn’t be solved“; Ian Stewart: “Flatterland”;
Don, S. Lemons: „A Student’s Guide to Dimensional Analysis“; \\Wiki: „Mathematica“; \\Wiki:
„Formel”; ...; ...
{Der
Wissensträgertyp „Arithmetische Gleichung“ + „Algebraische Formel“ ist so klassisch
und als Thema und Methode von anderen Autoren schon so ausführlich beschrieben
worden, dass ich dazu nur Weniges ausformulieren werde. – Angesichts anderer, dringenderer
Arbeits-Pakete im Unterfangen.} --> Fachliteratur
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Worum es in diesem Teil der Puzzlestein-Sammlung gehen soll:
Der Mensch liebt
die Geometrie, die Mathematik und die Logik,
denn als einziges unter den Lebewesen kann er
mit deren „Formeln“ etwas anfangen.
Die „Formel als
solche“ jedoch ist nur
eine Art von ‚Wissensträgertyp’. Eine unter mehreren!
– [\Die „Palette“ der überhaupt verfügbaren ‚Wissensträgertypen’ + \Überblicksgrafik dazu; \‚wissbar sein‘ – hier: speziell zu „Fragestellungen der Mathematik“; \Das „Menschliche Vorstellungsvermögen“ + die ihm aufgeprägten Grenzen; \„vergleichen“ – eine kognitive Leistung; \zur ‚An sich‘-Projizierbarkeit der Dinge – als solcher; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber der „Änderung“ bei: <... / …> – ein systemisches Merkmal; \zum Nutzen + den Fallstricken von: ‚So als ob‘-Paradigmen; \Tricks zur Darstellung von: „Unvorstellbarem“; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...]
*****
„Aus Vierecken bastelt er sich einen Container oder ein Haus. Den Kreis stellt er hin, und schon wird ein Rad daraus. Wenn wir aus dem Flugzeug gucken, sehen wir, wie die Landschaft geometrisch wird. ...“ – [N. N.]
– [\‚Stützstellenwesen‘ + Näherungstechnik im »Kognischen Raum«; \‚Wissbarkeitslandschaften‘ – als solche; \‚Finite Elemente‘-Technik im »Kognischen Raum«; \„virtuell sein“ – als Merkmal; \...]
*****
§Als ein „Die Dinge“ transformierendes Paradigma weiter auszuarbeiten!§
Alles Jonglieren mit „Gleichungen“ spielt im Rahmen des Handlungswesens. Auch dabei geht es jeweils um (menschliche) »Eingriffe«. Um Eingriffe in eine eigene ‚Art von Welt’, in die Spielwiese des ‚Formelwesens‘, diesem speziellen „Tortenstück“ aus dem »Großen GANZEN der Wissbarkeiten der WELT«. Mit dessen so eigen-artiger ‚Aufspannung als Diskursraum’.
– [\»Eingreifen« in die sich ansonsten ‚selbstorganisierende‘ WELT; \zur „Ideengeschichte“ der Menschheit; \Die ‚Palette der Freiheitsgrade‘ der „Bewegung“ + des „Handelns“ in der kognitiven Welt’; \Das »Referenzideal für die Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \Der jeweilige ‚Bewegungs-, Diskurs- + LEGE-Raum‘ + \dessen spezifische + wechselnde ‚Aufspannung‘; \Transformierbarkeit + „Transformationen“; \„Was alles wäre / würde / liefe anders, wenn: <...>?“; \„möglich sein“ – als Merkmal versus: \„unmöglich sein“; \Grafik: „Pusteblumenlogo“ – mit einer ersten Beschriftung; \zur – abbildungsseitigen – ‚Aus- und Einrollbarkeit‘ der: Diskursraumdimensionen; Merkmale; Zusammenhänge; Kontexte; Fragen; Probleme; Methoden; … + Richtigkeitskriterien; \...]
*****
N.
B.: Vor Milliarden
von Jahren, als die WELT noch nirgendwo ‚kognitiv abgebildet‘ wurde [1],
gab es – ebenso wenig, wie es das auch damals potenziell mögliche
„Leben“ bereits „gab“ – schon das „Praktische Formelwesen“. Damals existierte
es allein in Form von ‚Wissbarkeiten’.
--- Im Sinne einer im Rahmen der originalseitigen »Einsheit in Vielheit der
WELT« zwar bereits vorhandenen, jedoch noch nie genutzten „Möglichkeit“.
– [\zum
originalseitigen Merkmal: »Einsheit in Vielheit«; \zur ‚Abbildbarkeit‘ – als solcher; \all
die Arten von „Potential“; \„Wie und wann kamen
<hier: Die Mathematischen Formeln> überhaupt in die WELT hinein?“;
\Das „Rückspul“-Szenario der »Kognik«;
\1Millimeter
„Kulturlackschicht“ gegenüber: 1,4 Kilometern „Gesamtdicke“;
\Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher
jeweils fest-umrissen gehalten; \‚wissbar
sein‘ – ein originalseitiges Merkmal; \...
--- \Jux-Kasten;
\zum „Gleichheitszeichen“ – als solchem;
\...]
*****
Merkmale
*****
Definitionen
·
„Eine Formel
ist eine Gleichung, die mathematische oder technische Zusammenhänge (sprich: ‚originalseits
in der WELT‘ so vorgefundene bzw. erst ‚abbildungsseits‘ erdachte / erzeugte
und damit zunächst nur ‚behauptete’ Zusammenhänge!) in Worten oder Symbolen ausdrückt.“
{Man
beachte: Die „Formeln der Physik“ + ... wie das Gravitationsgesetz, die Maxwellschen
Gleichungen usw. leisten jedoch wesentlich mehr als: <etwas> bloß „auszudrücken“!}
– [\„zusammenhängen“ – als originalseitiges
Merkmal; \zum ‚Behauptungswesen‘ + seiner Optionsvielfalt; \zum ‚Vererbungswesen im / aus
dem »Kognischen Raum«’; \„extensional
sein“ versus: „intensional sein“; \...]
· §„...“§
*****
Beispiele:
· Formeln zur Berechnung der Merkmale von: Strecken, Flächen, Volumina, ...
· (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – (als eine der „Binomischen Formeln“)
· a*x5 + b*x4 + c*x3 + d*x2 + e*x + f = 0 --- („Die Quintische Gleichung“ --- usw.)
·
Definierende
Formeln (etwa in der Physik):
Druck = Kraft / Fläche; Elektrischer Widerstand = Spannung / Stromstärke ... ---
usw.; usw.
·
Transformationsgesetze
(z. B. Kartesische Koordinaten <--> Polarkoordinaten; Die Lorentz-Transformation;
...)
·
Formeln als
Komponente der Bildungsvorschrift für einen bestimmten wohl-abgegrenzten Wissenskörper
(z. B. für die Mandelbrotmenge
als eigenständigem ‚Weltausschnitt’)
· Formeln zur Berechnung von Optima („Kürzester Weg“; „billigst“; „...“)
·
(1,2) ◦
(1,2,3) ◦ (1,2)-1 = (1,3,2)
(als Multiplikations-Ergebnis einer Abfolge von Permutationen im Rahmen
der „Gruppentheorie“)
·
P = f (A;
K; I; U; R; E) – (als bloße
Aufzählung der Variablen, die für den Messwert und das (‚wissenslandschaftliche‘)
Verhalten einer gerade interessierenden Größe P als Einflussfaktoren
wirken)
– [\k-DIM; \Beispiel aus: „Produktivität der Forschung“;
\...]
· ...
*****
Zwecke:
Es gibt Formeln für:
· Definitionen
· Berechnungen
· Beweise
· Mehr oder weniger unifizierende Beschreibungen
·
Soll-Vorgaben;
als Ausdruck von „Randbedingungen“
– [\‚Diamanten im »Kognischen
Raum«‘
– \Prinzipgrafik
dazu; \„Selektion“ –
als solche; \ „Lineare Programmierung“ & Co.; \...]
·
§Formelsprache(n)
als eigenständige ‚abbildungsseitige‘ Systeme – mit eigenen ‚methodischen
Wissbarkeiten’ + Mächtigkeiten / ‚Geltungsbereichen’ + §‚Transformations’- und
‚Kompaktierungsmöglichkeiten’; ...§
– [\„Transformationen“ – als
solche;
\‚Kompaktierung‘ – als solche; \...; \...]
· ...
*****
Das Lösungs-Wesen
Es gibt „Gleichungssysteme“ mit:
· Keiner Lösung
· Genau einer Lösung
· Mehreren Lösungen nebeneinander
· Unendlich vielen Lösungen
· Gleichungen, die sich garantiert nicht lösen lassen – Beispiel: „Die quintische Gleichung“
· ...
Als
Konzepte sind ‚Gleichungen‘ und ‚Formeln‘ – trotz einer dabei intern vielleicht
bemühten Unendlichkeit – etwas, was – zumindest in den jeweils
eingesetzten Symbolen – abzählbar ist.
„Abzählen“ aber passiert immer nur ‚im Abbildungsseitigen’!
– [\Der jeweilige „Diskursraum“ + \seine spezifische ‚Aufspannung‘; \zur Zähl-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \Hochzählung von „Partnerkategorien“; \‚Achserei‘-Arbeit – als solche; \Fallstrick: ‚Absolutheits‘-Behauptung; \Definitionsgrafik: »Der Punkt, der sich teilen lässt«; \... --- \Der LEGE-Raum zum »Puzzle WELT« + \Grafik-Entwurf dazu – in zentrierter Draufsicht für den »Privilegierten Beobachter« schalenweise ‚ausgerollt‘; \...]
*****
Das Wesen von algebraischen Gleichungen
Egal, was an Werten man – etwa in die binomische Formel – auch einsetzt, und egal wie weit diese Variablen auch hergeholt sein mögen:
Die Formel gilt!
Sie gilt „immer“, d. h. als „Abstraktion“ stellt sie – angesichts der unendlichen mathematischen Menge an als getrennten ‚Wissbarkeiten’ möglichen Werte-Kombinationen – eine ungeheure Vereinfachung dar.
‚Hochzoomend’ im »Paradigma der Kognik« gesprochen!
Analoges
gilt für all die anderen „Algebraischen Formeln“. Ebenso aber auch für die
Unabhängigkeit von Computerprogrammen von den gerade zur geflissentlichen Errechnung
von außen her in sie eingegebenen Werten: den jeweiligen „Inputs“. Und auch für
die Unabhängigkeit der „Benutzeroberflächen“ von den auf ihnen gerade auszuführenden
Programmen + Aktionen.
+ für die diese in Art und Aussehen bestimmenden ‚Kognitiven
Freiheitsgrade’.
– [\‚invariant sein‘ (oder nicht) – als systemisches Merkmal; \Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \„Komplexität“ und – verlustfreie – Reduktion; \Die jeweiligen „Geltungsbereiche“; \Gegenbeispiel: „Alkohol + Wasser“; \zur ‚Vererbbarkeit‘ + all der Ererbung von Merkmalen im / aus dem »Kognischen Raum«; \‚Ecken + Glatte Kanten im Puzzle‘; \„Orthogonalität“ – als solche; \„Formaler Umweg“ über den jeweiligen ‚Top’; \\Formelsammlungen am Markt; \„Benutzeroberflächen“ – als solche; \Die ‚Palette der Freiheitsgrade‘ der „Bewegung“ + des „Handelns“ in der kognitiven Welt’; \...]
*****
§...§
--> all
die Lehrbücher
*****
Phänomene
·
Das „Sich
kreuzen“-Können zweier Geraden oder Kurven in einem gemeinsamen „Punkt“:
Dazu braucht es aber erst einmal einen gemeinsamen „Diskursraum“ für beide
Linien (+ für all die anderen überhaupt möglichen „Punkte“).
– [\allerlei
‚Arten von Punkt‘; \Die „Linie“
– als ‚Wissensträgertyp‘; \...; \„Raum“-Charakter
haben / bekommen; \‚Verlorene Dimensionen‘ + ihre abbildungsseitigen
Folgen; \‚aus- und einrollbar sein‘ –
als Diskursraumdimensionen, Merkmale, Fragen + Richtigkeitskriterien;
\‚Finite
Elemente‘-Technik – hier: diejenige im „Klassischen Raum“;
\...]
· „Parallel zueinander“ sein: in (Diskurs)-Räumen, wo speziell dieses Merkmal überhaupt geht
·
Gleichungen,
die sich „lösen lassen“ + solche, die sich nicht lösen lassen
(zumindest nicht über die bislang üblichen Methoden)
[Beispiel: Die „Quintische Gleichung“ – \\Mario Livio,
„The Equation that couldn’t be solved“]
· <Die vorliegende> Gleichung kann auch geschrieben werden als: „{...}“.
·
Die Sonderrolle
der Zahl Null + Die bekannten Paradoxien beim Rechnen mit ihr
– Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch 0.
... [2]
·
...
– [\„Maxwell & Co.“; \Der „Punkt“ der klassischen
Geometrie; \‚Der Punkt dagegen, der sich teilen lässt‘ – \Grafik
zu seinen (zunächst) drei separaten Zonen; \‚Explikationismus‘
– ein rein abbildungsseitiges Phänomen; \...]
*****
Das Gespinst der Formeln, das da geknüpft / unterschiedlich ‚angelupft’ wird / mit dem da ‚herum-operiert’ wird, lässt eine imaginäre, höchst abstrakte Welt entstehen, die sich immer weiter von der Alltagsvorstellung und dem Alltagsverstand der Erdenbürger entfernt. Eine Welt, die trotz reduzierter Vorstellbarkeit der gesuchten ‚Originaltreue’ aber weiterhin dienlich sein kann. Auch, wenn dies nicht unbedingt immer so der Fall ist.
– [\Das ‚Guckloch‘-Paradigma der »Kognik«; \zu den Grenzen unseres „Vorstellungsvermögens“; \Das – idealisierende – „Anlupf“-Szenario der »Kognik«; \‚operational sein‘ – ein abbildungsseitiges Unterscheidungsmerkmal; \‚Originaltreue‘ – als Richtigkeitskriterium; \„Technik + Industrie“; \zur „Ökonomie“; \...; \„Simulierbarkeit“ + Simulationen; \Tricks zur Darstellung von „Unvorstellbarem“; \...]
*****
Die „Formelsprache“ im Spannungsfeld zwischen ‚Abbildungsseitigem’ und ‚Originalseitigem’:
Das ‚Formelwesen‘: Ein besonderes ‚Paradigma’ / Ein spezieller ‚Wissensträgertyp’ / Eine ganz bestimmte ‚Daten-Struktur’
1. „Formelsprache“ als Mittel zur Beschreibung des »Originals WELT«
2. „Formelsprache“ für eigenständige (gemachte oder doch machbare) Objekte in der WELT [3]
3. „Formelsprache“ zur Darstellung / Eingrenzung der Menge an ‚abbildungsseits‘ überhaupt vorhandenen Möglichkeiten
– [\in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘ ˄ versus: ‚Das Abbildungsseitige‘ ˅ ; \‚Beschreibungsweisen‘ + Paradigmenwechsel; \Die Palette der überhaupt verfügbaren ‚Wissensträgertypen’; \all die Arten von „Datenstruktur‘; \Das „Mathiversum“ – in ‚Abstraktionskegel‘-Form dargestellt ; \...]
***********
N. B.: Indische Mathematiker entwarfen das Dezimalsystem und führten die Null ein.
Doch das war, auch wenn es gestelzt klingen mag, nichts anderes als das ‚Aufgreifen’ einer ganz bestimmten, eigentlich uralten – „ewigen“ – ‚Wissbarkeit der WELT’. Bzw. einer schon damals längst vorhandenen ‚Kognitiven Machbarkeit’. ...
– [\‚wissbar sein‘ – ein originalseitiges Merkmal; \(geschickte) ‚Raumgreifung‘ – als solche; \(bereits) „möglich sein“; \...]
+ Die methodische Voraussetzung für deren praktischen Einsatz
--> \Der extra ‚Abgrenzungsschritt‘ – als solcher – \\Robert Kaplan: „Die Geschichte der Null“
***********
Es sind bloß
die ‚Umrahmungen’,
die in der (so riesigen) ‚Zählszene’ tatsächlich gezählt werden.
Die „Inhalte“ der jeweils ‚Umrahmten Weltausschnitte’ wären ohne implizit angenommene – rundherum um die gerade gemeinten Dinge geschlossene – ‚Rahmen’ nur ‚kognitiv unhandlicher Nebel’. Blieben unklar zerfließende ‚Vielheit’. ...
– [\in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘ ˄ versus: ‚Das Abbildungsseitige‘ ˅ ; \Der ‚Weltausschnitt‘ – als solcher jeweils fest-umrissen gehalten!; \Das extra ‚Abgrenzungsgeschehen im Kognischen Raum’; \„Rahmen“ als solche + „Umrahmung sein“ für Anderes als Merkmal; \zur ‚Vielheit’ in der »Einsheit der WELT«; \Das »Referenzideal für die Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \zur ‚Zähl‘-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \‚Rahmenarbeit‘ – als solche; \„wolkig sein“ – als Merkmal; \Testgrafik: „Sind das wirklich zwei Stück Bleistift?“; \...]
**********
Manche Formeln jedoch sind etwas ganz Besonderes:
Sie gelten nicht nur für sich, „mathematisch richtig“, sie gelten auch bei der Beschreibung der Zusammenhänge in einem ganz bestimmten ‚Ausschnitt aus der WELT’. Gültig dabei als Abbildung für die »Einsheit in Vielheit« in etwas, was in Wirklichkeit ‚originalseits ist’. Und dort (von jedermann, der sich dafür interessiert) so und nicht anders vorgefunden wird.
Sie und nur sie verknüpfen / explizieren die ‚Wissbarkeiten zu diesem Weltausschnitt’ auf eindeutige und originalgetreue Weise. Und definieren somit in der Verknüpfung von oft nur wenigen Symbolen gleich einen ganzen »Abstraktionskegel«. Sie selbst (oder der Punkt des Zusammentreffens ihrer ,raumgreifend’ aufspannenden Achsen im Diskursraum + Verknüpfungen) bilden dessen ‚Top-Punkt’.
Sie legen den betreffenden
»Abstraktionskegel«
nach Aussehen und Inhalt
bereits eindeutig fest.
– [\„zusammenhängen“ – als originalseitiges Merkmal; \Der jeweilige ‚Weltausschnitt’; \Der »Abstraktionskegel« dazu – als ‚Wissensträgertyp‘; \‚Aufspannungsoptionen‘ für ganze „Diskursräume“; \Das – originalseits so unabänderlich angetroffene – Merkmal: »Einsheit in Vielheit«; \Paradebeispiel: „Die Maxwellschen Gleichungen“; \zur ‚Vererbbarkeit + Ererbung‘ von Merkmalen im / aus dem »Kognischen Raum« --- (Modalität: „Notwendigkeit“); \Paradebeispiel: „Das Apfelmännchen“; \‚Raumgreifung‘ – als solche; \zur ‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum« – unter dem Kriterium: „Stimmigkeit“; \...]
*****
Doch solche in
Bezug auf das »Original WELT«
besonders explikationsmächtige Formeln
gibt es
– angesichts der abbildungsseitigen Unmenge an kombinatorisch machbaren „Formeln“
–
nur ganz wenige!
– [\Szenario „Taumelnde Kamera“; \„Objektabgrenzung“ – als extra Arbeitsschritt; \Der „Systembegriff“; \„invariant sein“ (oder nicht) gegenüber Änderungen bei: <…> – ein systemisches Merkmal; \...; \„Eichinvarianz“ – als solche; \...]
*****
Physiker etwa lernen zu Beginn ihrer Karriere, dass es – trotz der nachweislich mathematischen Einfachheit der wirkenden Naturgesetze – unmöglich ist, „Exakte Lösungen“, gemeint sind wiederum ‚Mathematische Formeln‘, zu finden, sobald in den Problemen mehr als zwei Körpern im Raum gravitativ wechselwirken: Fachsprachlich „Drei-Körper-Problem“ genannt. Je mehr „Körper“ es sind / sein sollen, desto „schlimmer“ wird es.
– [\„unmöglich sein“ – als Merkmal; \...; \zur „Klassischen Thermodynamik“ + ihren Hauptsätzen; \...; \...]
In der Astronomie erhält man daher keine mathematisch exakte Lösung mehr, sobald mehr als zwei Gestirne oder sonstige Himmelskörper im Spiel sind. Oder wenn Erde, Transport-Rakete und Raumstation in der Bahnberechnung gleichzeitig berücksichtigt werden müssen.
Viel-Körper-Probleme bleiben zwar immer noch per Computer ‚simulierbar‘ und so dennoch „lösbar“ (weil die „Erhaltungsgesetze von Impuls, Energie und Drehimpuls“ bei Anwesenheit von Gravitationsfeldern weiter gelten), die Bahnen der beteiligten Körper jedoch lassen sich, obwohl derart deterministisch festgelegt, nicht mehr als „Geschlossene Formel“ ausdrücken.
--> Generalisiert: Als in der Mathematik immer wiederkehrende Frage, ob es für eine bestimmte „Differentialgleichung“ überhaupt eine „Geschlossene Lösung“ gibt.
– [\Modellarbeit – „Dreikörperproblem“; \‚Stützstellenwesen‘ + ‚Näherungstechnik‘ im »Kognischen Raum«; \„Simulierbarkeit“ + Simulationen – als solche; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Änderungen“ bei <... / ...> – ein systemisches Merkmal; \zur ‚Materiellen Welt‘ + (explikationsmächtige) „Differentialgleichungen“; \...]
§--- usw., usw. mit dem „Mathematischen Formelwesen“§
*****
Die Wahl der Symbole
Die Schreibkonventionen sind dabei ziemlich beliebig. Eigentlich austauschbar! Die konventionsmäßig verwendeten Symbole sind mit Sicherheit nicht das Wichtigste an der Formel. Was aber ist es stattdessen? ...
Bei Versuchen in Richtung auf eine »Mathematik des Kognischen Raums« / »Mathematik der Kognik« werden wir ähnlichen Optionen und Fragen begegnen! ...
– [\Die ‚Abbildtheorie‘ – ihre „Richtigkeitsinstanz #4“; \zum „Standardisierungswesen“ – als solchem; \O-Zitat: G. H. Hardy; \zur ‚Mathematik der Kognik’; \Die ‚Regeln der Kunst der Kognik‘; \...]
*****
N. B.: Das eindeutig auf natürliche Weise (d. h. ohne Mitwirkung jeglichen Formelkrams) ‚in Selbstorganisation’ entstandene Arrangement der Dinge im »Original WELT« nahm und nimmt auf solch ‚abbildungsseitige‘ Probleme, sprich: auf die Handicaps der Physiker, Philosophen und sonstigen Weltbildmacher ebenso wenig Rücksicht wie auf das so begrenzte ‚Vorstellungsvermögen der Menschen’. ...
– [\‚Selbstorganisation‘: Das im »Original WELT« vorherrschende „Wirkprinzip“; \Das ‚Vorstellungsvermögen‘ + seine biologisch bedingten Grenzen; \Das ‚Guckloch‘-Paradigma der »Kognik« – mit seinen so natürlichen ‚Vererbungen’; \Tricks zur Darstellung von „Unvorstellbarem“; \...]
*****
Warum
– um Himmels willen –
gehorcht die
„Natur“ denn so oft
der „Mathematik“ und der „Logik“?!
– [\»Einsheit in Vielheit« – als Merkmal + \zu all der ‚Vielheit’ im »Original WELT«; \‚Selbstorganisation‘ – als Wirkprinzip; \Überblicksgrafik: „Entwicklung des Kosmos“; \zu: „Logik“ + „Vernunft“; \‚Vererbungsgeschehen im / aus dem »Kognischen Raum«’ – (in Modalität: „Notwendigkeit“); \Das „Prinzip der Kleinsten Wirkung“ / „Prinzip der Stabilität“; \Die „Raum“-Flanke des »Referenzideals der Abbildung der WELT« versus: Die – allemal abbildungsseitige – „Geometrie“; \...; \...]
-----
Dasselbe aus fremder Feder
„What is the relation between mathematics (formulated in a world of perfect objects – in mathematical space) and physics (which applies to our imperfect world – in representative space, and yet is formulated with mathematics)?”
– [\in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘ ˄ versus: ‚Das Abbildungsseitige‘ ˅ ; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...; \...]
*****
Arithmetik §usw.§
Hier interpretiert im Paradigma der »Kognischen Optik«:
§...§
– [\gleichzeitig: »Einsheit« und ‚Vielheit‘ sein – \Prinzipgrafik dazu – in Draufsicht; \Paradebeispiel: „Das Pascalsche Zahlendreieck“; \...; \...]
*********
Schulaufgabe
– „Beweisführung“
–
[vgl. auch den: Jux-Kasten]
Wieso eigentlich sind die beiden „Seiten“ der folgenden Formel gleich?
b3/ n3 * (n * (n +1) * (2n + 1))/6 = b3 * 1/6 * (1 + 1/n) * (2 + 1/n)
Ausdruck 1 = Ausdruck 2
– Das
Ganze ist vorerst nur Behauptung. Denn die Formel könnte ja auch falsch
sein.
– [\zum ‚Behauptungswesen‘; \...]
§Diese Formel besser mit waagerecht durchgezogenen Bruchstrichen zeichnen. Damit sie noch erschreckender aussieht!§
1. Lösungsschritt – „Umplatzierung“ der beiden Nenner:
b3/n3*(n*(n+1)*(2n+1))/6 = b3/6*(n*(n+1)*(2n+1))/n3
Ausdruck 1 Ausdruck 3
Erkenntnis: b3 / 6 = b3*1/6 oder (b3/6) / (b3*1/6) = 1
Ausdruck a Ausdruck b Ausdruck c Ausdruck d
==> Vereinfachung der Aufgabe:
Warum ist: (n*(n+1)*(2n+1))/n3 = (1+1/n)*(2+1/n) ?
Ausdruck 4 Ausdruck 5
2. Lösungsschritt: (n*(n+1)*(2n+1))/n3 = (n*(n+1)*(2n+1))/ n*n2
Ausdruck 4 Ausdruck 6
==> Vereinfachung: Warum ist (n+1)*(2n+1)/n2 = (1+1/n)*(2+1/n)
Ausdruck 7 Ausdruck 8
3. Lösungsschritt: (n+1)*(2n+1)/n2 = (n+1)*(2n+1)/(n*n)
Ausdruck 7 Ausdruck 8
„Umschreibung“ durch Auftrennung des
Bruchstrichs
(als der der Zielformel ähnlicheren Struktur):
(n+1)*(2n+1)/(n*n) = (n+1)/n*(2n+1)/n
Ausdruck 8 Ausdruck 9
==> Vereinfachung: Warum ist (n+1)/n = (1+1/n) und (2n+1)/n = (2+1/n)?
4. Lösungsschritt und Beweis-Ende:
Beide Mal die Division durch n explizit durchführen!
*****
Invarianz- / Varianz-Analyse
Welches sind die Gemeinsamkeiten und welches die Unterschiede der ‚Kognitiven Fingerabdrücke’ der Ausdrücke 1 bis 9 bzw. der Ausdrücke a bis d?
– [\zum ‚Fingerabdruckwesen‘ im »Kognischen Raum« – hier: speziell im „Diskursraum der Mathematik“; \...]
· Die Anzahl der Terme + Ihre unterschiedliche Einfachheit
·
Die jeweils enthaltenen
„Andockzapfen“ / Art der Terme und ihrer Elemente im Ausdruck, als ‚Puzzlestein’
– [\zur
‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum«; \...]
· Die Zeichnungsweise des Bruchstrichs (als Schrägstrich bzw. als waagerechter Strich)
· Die dabei verwendeten „Schreib-Symbole“
· ...
*****
{Was
sonst noch Alles an mathematischen Ausdrücken bzw. Termen wäre hier ebenfalls
richtig?
+ Was Alles sonst noch kommt Einem bei nicht zum Beweis führenden
Lösungsversuchen unter?
= ... = ...; durchmultiplizieren; ziellos durchprobieren; echte
Zahlenwerte einsetzen; ...
Die Quasi-Beliebigkeit der „Arme“ (=> Puzzlestein-Gestalt). Doch das ist solange in Ordnung, wie „zunächst falsche“ Terme / Arme irgendwo in der Formel von anderen Armen / Termen neutralisiert werden.}
{Themen: „Syntax“; „Semantik“ usw.}
*****
Interpretationsweisen
In dem Beispiel sind die Terme rechts und links der Gleichheitszeichen so etwas wie Pfeile, die aus verschiedenen Richtungen allesamt auf denselben „Punkt“ (im Raum / im selben Gebilde) hinweisen. Insgesamt betrachtet würden sie (bei umgekehrter Leserichtung aller „Pfeile“) eine Art „Igel“ bilden.
Doch in welcher Art von „Diskursraum“ passiert das eigentlich? Was an zusätzlichen „Koordinatenachsen“ braucht es bis zum vollständigen – „unifizierenden“ – ‚Aufspannen’ genau dieses Raumes?
So, dass er am Ende ohne weiteres
für alle anderen irgend denkbaren Formeln gilt!
+ Wozu gehört dieser „Diskursraum“ kognisch-kartografisch selbst? [4]
– [\Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \Die ‚Palette der Zoomphänomene‘; \Die grundsätzliche ‚Überzoombarkeit’ der Weltausschnitte + ihrer Dinge; \‚Latenzierung’ als solche; \Der – pro Punkt – jeweils „Zentrale Hub“; \Das „Mathiversum“ – ebenfalls dargestellt als: \»Punkt, der sich teilen lässt« + \Definitionsgrafik: »Der Punkt der Kognik«; \„Spuren“ des »Kognischen Raums« – in der Alltagssprache; \...]
*****
Warum eigentlich erscheinen so viele / fast alle Formeln der Wissenschaft in der Gestalt von „Gleichungen“? Sind sichtbar mit einem „Gleichheitszeichen“ versehen? [5]
Weil sich auf diese Weise die
jeweiligen Vererbungen („Notwendigkeiten“),
die allesamt vom Merkmal: »Einsheit der WELT« her stammen,
explizit ausdrücken lassen.
– [\„<...> ist / hat / kann {...}!“; \zu den – so unterschiedlichen – Bedeutungen des „Gleichheitszeichens“; \...]
*****
Aber daneben auch:
·
All die „Chemischen
Formeln“: §...; ...§
– [\„Mendelejew“; \„Technik“; \„Systembiologie“; \...]
·
All die Beschwörungsformeln:
zum „Gleichmachen von Wunsch und Realität“
– [\Fallstrick: ‚Möbiussche Verdrehbarkeit der Dinge‘ –
im »Kognischen Raum«; \...]
·
All die „Zahlenmystik“:
§...§
– [\zur
‚Zähl‘-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \„Symbolik“ – Geisterbeschwörung;
\„Astrologie“;
\...]
·
Das ‚Mathematisch
Ausdrücken‘-Können von „Kausal-Überzeugungen“
– [\„Kausalität“; \...; \...]
·
...
– [\...; \...]
*****
Nicht nur rhetorische Fragen
Lassen
sich eigentlich beliebige Achsen völlig frei zu Koordinatensystemen ‚kombinieren‘?
Mit trotzdem einem gemeinsamen Koordinaten-Ursprung? Wann das und wieso? Und
wann nicht?
--- Wie aber steht es bei ‚Falschbehauptungen‘?? --- den Richtigkeitskriterien??? ---
Inwieweit
muss man dabei darauf achten, immer nur ‚originalseits‘ Vorgegebenes zu
verwenden?
Ab wann wird die Hinzufügung
riskant??
– [\Szenario: „Kunstakademie“; \Kognitiver Freiheitsgrad: „Kombination“; \zum Nutzen + den Fallstricken von ‚So als ob‘-Paradigmen; \Paradebeispiel: Die M-Theorie der Physik; \Das „Mathiversum“ – als solches + als Arbeitspaket; \...; \zum »Rütteltestwesen im Kognischen Raum«; \Fallstrick: ‚Möbiussche Verdrehung der Dinge‘ im »Kognischen Raum«; \„Kartesische“ versus: „Polare“ versus: »Kognische« Koordinaten; \...; \...]
*****
Ø Der Satz des Pythagoras: In einem „Rechtschenkligen Dreieck“ ist die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Hypothenusen-Quadrat
„a2 + b2 = c2“
Ø Der „Höhensatz“ + Der „Kathetensatz“ (usw.) der Dreiecksgeometrie
Im Unterschied etwa zum:
v Satz des Albert Einstein: „E = mc2“
-----------
Beide Arten sind ‚Formeln‘,
jedoch mit einem bedeutenden qualitativen Unterschied. (vgl. oben)
*****
Kommutativität / Nicht-Kommutativität von „Operatoren“
Bei Aneinanderreihung von „Prozessen“ sind wir gewohnt, dass die zeitliche Reihenfolge eine Rolle spielt. Mathematisch gesprochen sind nicht alle Prozesse „kommutativ“. Wer vom Schuss des Gegners bereits getötet wurde, kann auf diesen nicht zurückschießen.
N. B.: Es ist die Nicht-Kommutativität der daran beteiligten „Operatoren“, die letztlich die Andersartigkeit und die Unvorstellbarkeit der ‚Quantenwelt’ ausmachen.
– [\Der „Prozess“ – als solcher; \»Eingriffe in die WELT« – auch diejenigen: im „Mathematischen Raum“!; \Kognitiver Freiheitsgrad: „Kombination“; \„Quantenmechanik“ – Die Unschärferelation; \Nicht-kommutative „Geometrie“; \zur „Gruppentheorie“; \...]
*****
Ein Ableitungs-Beispiel
§Nimm irgendein klassisches Beispiel: Beschreibe darin eine längere Ableitung „per Formelkram“ – korrekt nach den Gesetzen der Logik durchgeführt. Vom gemeinsamen ‚Top-Punkt’ (als »Einsheit«) aus betrachtet und von dort her in gewisse Teile aus dessen ‚Vielheit’ zergliedert. Dabei ‚die Dinge in den »Kognischen Raum« übersetzt’!
In „Tiefe“ und „Breite“ etwa so,
wie es im (völlig andersartigen) ‚Weltausschnitt’
des Paradebeispiels \Aristoteles
vorgeführt wird.§
– [\„Axiome“, „Theoreme“ + Schlussfolgerbarkeit (↓) ; \als – ‚im Abbildungsseitigen‘ extra vorzuschaltender – Arbeitsschritt: Die „richtige“ ‚Transformation der Dinge in den »Kognischen Raum«’; \zur ‚Vielheit‘ innerhalb einer bereits vorgefundenen oder künstlich gesetzten »Einsheit«; \zu all den – im »Kognischen Raum« – so angetroffenen ‚Nachbarschaftsbeziehungen’; \...]
*****
Integral- / Differentialrechnung
Wann geht es dabei um eine konsistente „Abbildung“ der (stimmigen) Verknüpfung zweier ‚direkt benachbarter’ Zoom-Ebenen? --- Wann dagegen um ganz anderes?
– [\Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \„Transformationen“ – als solche; \„Nachbarschaftsbeziehungen“ im »Kognischen Raum« – natürliche versus: künstliche; \...]
*****
§...§
*****
Differentialgleichungen + Differentialgleichungssysteme
Das ‚Gleichheitszeichen‘ bedeutet dabei eine Bedingung. Nicht etwa eine bloße, womöglich gar allgemeingültige Feststellung. Die dazu gesuchte(n) Lösung(en), falls es überhaupt welche gibt, müssen die durch diese Formeln ausgedrückte Bedingungen allesamt und überall im Diskursraum erfüllen.
+ Wie im Einzelnen lautet das
Ergebnis, falls es (s. o.)
überhaupt „geschlossene“, d. h. formelmäßig ausdrückbare Lösungen dafür gibt?
– [\Der gerade gemeinte / zuständige ‚Weltausschnitt‘; \„Selektion“ – als solche; \zur „Materiellen Welt“ + all ihren Gesetzmäßigkeiten; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Änderungen“ bei: <…> – ein systemisches Merkmal; \‚Diamanten sein‘ im »Kognischen Raum« – \Prinzipgrafik dazu – (in 2D); \‚Stützstellenwesen‘ + ‚Näherungstechnik‘ im »Kognischen Raum«; \Foto-Metapher: „in sich verschränkt“ + (die Differentialgleichung zu diesem „Geschehen“); \Beispiel: „Elektromagnetismus“ – Die Maxwellschen Gleichungen; \...]
*****
Das Lösen einer Gleichung "n-ten Grades"
§...§
§...; vgl. dazu Mario Livio: „The Equation that Couldn’t be Solved“; …§
– [\zur „Gruppentheorie”; \...; \...]
*****
Phänomen
Bei der Suche in mehreren Physikbüchern sahen die „Maxwellschen Gleichungen“, so wie sie dort formelmäßig dargestellt waren, völlig verschieden aus: im Vergleich miteinander keinesfalls als „immer wieder Dasselbe“ an Gesamtzusammenhang zu erkennen. Zumindest nicht auf Anhieb und für Laien schon gar nicht.
Als das „momentan entscheidend
Wichtige“
für die Erklärung der dahinterstehenden Physik,
das sie tatsächlich sind.
– [\Die ‚vierte’ versus: Die ‚zweite’ der Richtigkeitsinstanzen der „Abbildtheorie“; \...]
**********
Nicht viel anders steht es bei den ‚Termen‘ im nachstehenden „Jux-Kasten“:
– Jux-Kasten –
Vereinfachungen im Formelwesen
(ähnlich als *.pps-Datei – ebenfalls
„aus fremder Feder“)
Jeder
angehende Mathematiker muss früh lernen, dass es nicht von gutem Geschmack
zeugt,
die Summe zweier Mengen in der Form
· 1 + 1 = 2 (1)
zu schreiben. Jeder fortgeschrittene Student weiß, dass
· 1 = ln e (2)
und weiter, dass
· 1 = sin2 q + cos2 q (3)
ist. Zusätzlich ist es für den einsichtigen Leser offensichtlich, dass
·
(4)
ist. Deshalb kann die Gleichung (1) wissenschaftlicher ausgedrückt werden als
·
ln e + (sin2 q+ cos2 q) =
(5)
Es ist unmittelbar ersichtlich, dass
· 1 = cosh p √(1-tanh2 p) (6)
ist, und da
· e = lim für ∂ --> ∞ über (1 + 1/∂)∂ (7)
ist, kann die Gleichung (5) weiter vereinfacht werden zu
·
ln (lim für ∂ --> ∞ über (1 + 1/∂)∂)
+ (sin2 q+ cos2 q) =
Summe N=0 bis ∞ (cosh p √1-tanh2 q/2n)
(8)
Wenn wir beachten, dass
· 0! = 1 (9)
ist und uns in Erinnerung rufen,
dass die Inversion der Transposition gleich der Transposition der Inversion
ist, können wir uns aus der Beschränkung des eindimensionalen Raums befreien,
indem
wir den Vektor X einführen.
Dann ist
(X')-1 – (X-1)' = 0 (l0)
Die Kombination von Gleichung (9) und Gleichung (10) ergibt
[(X')-1 – (X-1)']! = l (11)
die, eingesetzt in Gleichung (8), unseren Ausdruck reduziert auf
ln {lim für ∂ --> ∞ über{[(X')-1 – (X-1)'] + 1/∂ }∂} + (sin2 q + cos2 q) =
Summe N = 0 bis ∞ (cosh p √1 – tanh2 q/2n) (12)
An diesem Punkt sollte es offensichtlich sein,
dass die Gleichung (12) viel klarer und leichter zu verstehen ist
als Gleichung (1)!
Andere Methoden von ähnlichem
Charakter könnten auch benutzt werden, um die Gleichung (1) zu
vereinfachen. Diese werden jedem sofort ins Auge fallen, wenn er einmal die
grundlegenden Prinzipien der Gleichsetzung erfasst hat.
– [frei nach: John J. Siegtried, University of
Wisconsin, 1970]
– [vgl. dazu auch: \„Alkohol + Wasser“; \„Achill und die Schildkröte“; \...]
*****
All diese Ausdrücke haben den Wert "1". Als „Pfeile“ zeigen sie auf ein und denselben „Punkt im (Zahlen)-Raum“. Als jeweils individueller Puzzlestein um diesen einen Wert herum „platziert“ hat jeder der Ausdrücke jedoch auch noch seinen eigenen, ihn von all den anderen unterscheidenden ‚Kognitiven Fingerabdruck’.
– [\„Information“ + jeweiliger Zweck; \zum ‚Fingerabdruckwesen‘ – im »Kognischen Raum«; \Das ‚Puzzle‘-Paradigma der »Kognik«; \„Zentraler Hub“ sein – als Merkmal; \Das (uns zunächst seltsam scheinende) hochabstrakte Merkmal: »Einsheit in Vielheit«; \...]
*****
Arbeitspaket dazu
Auslotung, für welche – weiter variierten – Term-Arrangements die Gleichheit der „linken und der rechten Seite der Formel“ sonst noch zwingend gilt. Und bei welchen scheinbar winzigen Änderungen daran schon nicht mehr. ...
– [\all die ‚Arten von Änderung‘; \‚Explikationismus‘ – als solcher; \zur ‚Vielheit‘ innerhalb der – jeweiligen – »Einsheit«– \Prinzipgrafik dazu – in Draufsicht; \(bloße) „Zugehörigkeit“ – als Verknüpfungskriterium; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...]
*****
§Optionen für noch weitere „Vereinfachung“
Unterwegs frech einen Variablennamen auswechseln + eines der Symbole durch irgendetwas völlig Anderes ersetzen. Etwa durch etwas, was bislang als ‚Standard’ niemand kennt. Oder es in seiner Funktion akzeptieren würde! + ... + ...§
– [\„Standardisierung“; \...]
*****
Phänomen
Speziell bei Formeln „in 1. Näherung“ dominiert als Verknüpfung plötzlich das Pluszeichen.
Mit der vergleichsweise einfachen Berechenbarkeit seiner Ergebnisse. Egal wie operator-mäßig kompliziert die „Formel für die tatsächlichen Zusammenhänge“ auszusehen hätte:
Die beteiligten „Differentialquotienten“
werden da am Ende
schlicht aufaddiert.
– [\„zusammenhängen“ – als originalseitiges versus: als abbildungsseitiges Merkmal; \zur ‚Näherungstechnik‘ – als solcher; \zum ‚Delta+-Geschehen der Erkenntnis‘; \...; \...]
Beispiele:
§„Technologische Forschung“: Die Einflüsse auf deren Produktivität§
*****
Wie und warum eigentlich kam das Gleichheitszeichen in die Welt hinein?
Übersetzung des Jux-Beispiels in das Paradigma
vom »Unifizierten Kognischen Raum«
§Rohentwurf / Ideen-Sammlung§
– [\»Einsheit« – als Merkmal; \‚Vielheit’ – als solche; \„Wie-kam <...> überhaupt in die WELT hinein?“; \Der jeweils zu unifizierende „Diskursraum“; \zur ‚Ansteuerung der Dinge‘ – im »Kognischen Raum«; \allerlei andere Formen von „Gleichheit“; \Arbeitspaket: Das „Mathiversum“; \...]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zu jeder einzelnen Zahl führen im Zahlenraum unendlich viele unterschiedliche Wege.
·
Zur Zahl „2“ gelangt man etwa, indem man von der Zahl „1“
ausgeht und die gleiche Zahl „1“ dazu addiert. Oder an der
Position 1 der Zahlengerade losgeht und an diese Gerade eine gerade
Strecke der Länge 1 hinzufügt. Oder indem man sich irgendeine
andere zum Ergebnis „2“ passende Kombination von zwei oder mehreren
positiv- und negativ-wertigen Summanden hernimmt.
Oder stattdessen irgendwelche Positionen und entsprechende Strecken passend kombiniert.
{Dabei gibt es verschiedene Lesemöglichkeiten für die
Reihung der Summanden: von links nach rechts, von rechts nach links oder ...:
gemäß dem „Kommutationsgesetz der Summation“.}
– [\Kognitiver Freiheitsgrad:
„Kombination“; \...; \...]
·
Jede „Unendliche Reihe“ führt ebenfalls, von irgendeinem Ausgangspunkt
aus, schrittweise irgendwohin. Einige unter den – überhaupt – aufstellbaren
Unendlichen Reihen führen sogar genau zu unserer Zahl „2“. Im ‚Abbildungsseitigen‘
gibt es – als wahrnehmbare + realisierbare Möglichkeiten – unendlich viele solche Reihen! Es ist nur ein Klacks, irgendeine vorliegende (noch nicht passende) Reihe
soweit abzuändern, dass sie von irgendeinem bestimmten, beliebig gewählten
Startpunkt aus über beliebig gewählte Zwischenstationen (als ‚Soll-Stützstellen’)
zu irgendeiner ebenso beliebigen Zielposition im Raum führt. Und somit
zum gerade gemeinten Zahlenwert. Jede Verbindungsroute verläuft im Raum wie ein
„Ariadnefaden“, jede von ihnen über unterschiedliche Zwischenstationen.
– [\„Möglichkeit“ – als solche; \„unmöglich sein“; \‚Stützstellenwesen‘ + „Näherungstechnik“ im »Kognischen
Raum«; \‚verschränkt sein‘ – ein
Merkmal im / des »Kognischen Raums«; \‚Ariadnefäden‘ im »Kognischen Raum«;
\zum ‚Direttissimawesen‘ im »Kognischen
Raum« – als solchem; \...]
·
... usw. --- für all die anderen der obigen Wege / für all die noch
möglichen ‚Reisevarianten‘ / für all die Wegstücke zum (hier) immer gleichbleibenden
Ziel. --- („Alle Wege führen nach Rom!“)
– [\‚Herumreisen- + Herumspringen-Können‘
in all den Gegenden + Weiten des »Kognischen Raums«; \Prinzipgrafik:
„Stützstellen“ + Zielerreichung; \...]
Die Glieder einer Formel
sind im Grunde nur Wegstücke oder Arbeitsanweisungen der Art:
„Nehme zuerst <...>“ bzw. „Gehe zuerst nach
<...>“ --- „und tue dann <...>”!
Und das gleich mehrfach.
Die linke und die
rechte Seite einer Formel legen – jede für sich – eine einzige ganz spezifische (vielleicht geknickte) Wegstrecke
des Fortschreitens im Zahlenraum fest. Abstrakter gesagt: in der ‚Ding an sich‘-Projektion
der „Zahlen“. Falls die Formel aus irgendeinem Grunde nicht stimmt,
eines Rechenfehlers wegen etwa, so gibt es dennoch beide Wegstrecken. Nur
treffen sich diese nicht im selben „Punkt“ zusammen.
§Womöglich gehören beide Seiten dieser Formel oder einzelne der Wegstrecken sogar
nicht einmal zur selben Gegend des ‚Unifizierten Diskursraums’!§
– [\zur „An-sich-Projizierbarkeit“ von Dingen; \Der – all-unifizierte – »Kognische Raum«;
\all die „Landschaften“ im »Kognischen Raum«;
\ ...]
Jonglieren mit Formeln in obiger
Weise bedeutet also nur, Zugangswege auszutauschen oder diese im Rahmen
der Möglichkeiten abzuändern. Sie beispielsweise um bestimmte Umwege anzureichern.
Oder sie – all die momentan vorgefundenen Schlenker überbrückend – maximal abzukürzen.
Alles an zwischendurch angesteuerten Positionen im Raum bleibt grundsätzlich möglich.
Ist „korrekt“ – solange bei den Manipulationen nur die Identität des rechts und
links vom Gleichheitszeichen reisemäßig angesteuerten „Punktes“ gewahrt bleibt.
– [\‚herumreisen‘ + ‚herumspringen‘
(können) im »Kognischen Raum«; \zur
‚Aufschäumbarkeit der Dinge‘ – im »Kognischen Raum«; \zur „Straffung
von Ariadnefäden im »Kognischen Raum«“; \zum ‚Direttissimawesen‘
– als solchem; \...]
Werden dagegen – wie in der Arithmetik und Algebra so oft – einzelne Glieder einer Gleichung von der „rechten zur linken Seite“ des Gleichheitszeichens verschoben oder umgekehrt von links nach rechts (d. h. wird ein Term – exakt nach den Regeln der Mathematik – vor bzw. hinter das Gleichheitszeichen umgeschaufelt), so wird dadurch nur der von beiden Seiten her gerade angesteuerte Zielpunkt ausgewechselt. Beispielsweise vom Wert „2“ hin zum Wert „1“ – oder auf irgendeinen anderen Zahlenwert [6] . Es wird also nur – unterwegs bei der entsprechenden mathematischen Operation – eine andere Position „zum Zielbereich“ deklariert“.
Doch jeder Bearbeitungsschritt muss
die Identitätsbedingung für den Endpunkt der Zugangs-Wege weiter einhalten.
So kann – auch mehrstufig – die Position des Zielpunktes in die unterschiedlichsten
Richtungen und zu den unterschiedlichsten Orten des vorhandenen Raums hingelenkt
werden.
Jede Dritt- oder sonstige „Fremd“-Position kann auf diese Weise, so dies aus
irgendwelchen Gründen erwünscht ist, in einen der Zugangswege eingebunden
werden (oder in beide gleichzeitig).
Und damit natürlich auch die 0 und alle „Imaginären und Komplexen
Zahlen“.
Oder ein völlig anderer „Koordinatenursprung“.
– [\„zusammenhängen“
– ein originalseitiges Merkmal; \zur ‚Verschränktheit‘ im »Kognischen
Raum« – \Prinzipgrafik
„Zentraler Hub“ – in Draufsicht; \Das »Große Fragezeichen zum Puzzle
WELT«; \...; \...]
-------------------------------
Algebra: Generalisierung
in „Formeln“
– mit abhängigen und unabhängigen „Variablen“
§...§
– [\...; \‚Brennweite‘
+ ‚Tiefenschärfe‘ im »Kognischen Raum« – zwei freie Variable; \...]
Das „Gleichheitszeichen“ vermerkt:
· entweder die Identität des Wegziels für die linke und die rechte Seite der Formel [7]
·
oder es bildet eine Sollbedingung bei der Suche nach „Der LÖSUNG“, etwa
in der Art:
„Suche einen oder alle Werte x, und zwar so, dass die
entsprechenden Wege von der linken und der rechten Seite des
Gleichheitszeichens sich in einem einzigen Punkt, in einer einzigen
Kurve / Formel / Geltungsbereich / ... treffen. Mit Zusatzfragen eventuell
wie: „Wo genau liegt der so ausgezeichnete Punkt?“ + „Wo gibt es Grenzen zu diesem
‚Geltungsbereich’?“ Sofern es überhaupt eine Lösung gibt!
„Wo liegt das Optimum einer bestimmten Zielfunktion über diesem Bereich?“; „Wo überhaupt
liegen die Maxima, Minima, Wendepunkte, Nullstellen, Unstetigkeiten, … <dieser>
Funktion?“; „Wie also wäre der Weg – anhand von §unabhängigen§ Variablen /
Parametern – auszugestalten, damit es mit dem Zusammentreffen in Gleichheit
wie gewünscht funktioniert?“
– [\„Axiome“,
Theoreme + Schlussfolgerbarkeit (↓); \„Optimierbarkeit“ – als
solche / als kognitive Leistung; \Mathematik –
„Differentialgleichungen“; \„isomorph sein“ – in
unterschiedlichen Aspekten; \„Selektion“ – als solche;
\„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...]
§N. B.: Der Zahlenraum bzw. der §...§-Raum (oder was
eigentlich an Allgemeinstem als „Diskursraum“?!) wird dabei für all
die Positionierungen und Wege von vorneherein als ‚landschaftlich existent‘ +
in sich konstant vorausgesetzt. „Axiomatisch“, als abbildungsseitige Tatsache
also. Oder als zwingendes Ergebnis aus der wiederholten Anwendung einer
bestimmten Operation §bzw. in der Angewandten Mathematik§ gleich von
irgendetwas ‚Originalseitigem‘ her so suggeriert.
(„Spannung“ + „Stromstärke“; „Finanzaufwand“ + „Zinseszins“;
...; …)
– [\all die „Wissbarkeitslandschaften“
innerhalb des »Kognischen Raums«; \Die
„Zähl“-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \Grafik:
»Pusteblumenlogo der Kognik« – mit erster Beschriftung“; \‚Weltausschnitte’: rundum fest-umrissen
– und damit erst zählbar; \Der extra ‚Abgrenzungsschritt’
– als abbildungsseitige Schaffung „eigenständig handhabbarer Objekte“;
\...]
§ Phänomen?
§: Rund um die „2“ herum sind im zuständigen „Diskursraum“
demnach unendlich viele „Gleichheitszeichen“ platziert. Allesamt bereit zum
Andocken der Ergebnisse ihrer unterschiedlichen Darstellungs- bzw. Berechnungswege.
– [ \„Jux-Kasten“ der Mathematik;
\zur ‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum«; \‚Beschreibungsweisen‘ + Paradigmenwechsel –
\Prinzipgrafik:
„Zentraler Hub“ – in Draufsicht; \zum Merkmal: ‚Verschränktheit‘ –
im »Kognischen Raum«; \...]
§Daneben gibt es dort noch massenhaft „Ungleichheits-Zeichen“ („ ≠ “) – und zwar noch viel mehr als Gleichheitszeichen! {+ was sonst noch alles an Mathematischen Symbolen?!}§
*****
Im „Anlupf“-Szenario der »Kognik«
Was alles an überhaupt machbaren „Formeln“ ergibt im Ergebnis genau den Wert „2“? Diese Frage stellt sich beim ‚Anlupfen’ eines jeden anderen Zahlenwerts genauso.
Ähnlich taucht diese Frage jedoch auch im Umgang mit dem »Referenzideal der Kognik« auf.
– [\Prinzipgrafik: „Schlapp daliegendes Netzwerk“; \Das „Anlupf“-Szenario der »Kognik«; \„Mengen“ + Mengenlehre; \„Infinitesimale“ + Konvergierende Reihen – \Prinzipgrafik dazu; \Das »Referenzideal der Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \allerlei aufschlussreiche ‚Szenarios der Kognik‘; \...]
*********
Das Algebraische Gleichheitszeichen
„Wenn links vom Gleichheitszeichen: <...> angesetzt wird, dann hat ‚im Sinne der Logik‘ in der Algebra dasjenige, was rechts von ihm steht, zwingend zu gelten!“
Umgekehrt: „Wenn links vom Gleichheitszeichen: {...} angesetzt wird, dann ‚gilt im Sinne der Logik‘ rechts von ihm zwingend: <...>!“ [8]
– [\Symbole der Algebra; \...; \...]
*****
Allerlei an Bedeutungsmöglichkeiten für das: „Gleichheitszeichen“
– [\„Bedeutung“, „Sinn“ + Sinngebung; \„Gleichheit“ – als Merkmal; \...; \...]
- Numerische Gleichheit:
Genau derselbe Wert auf der Zahlengerade
– [\zur „Zähl“-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT« + \zu seiner „Mess“-Szene; \...; \...] - Dieselbe
Position im (realen / komplexen / hochdimensionalen) Zahlenraum
– [\...; \...] - Dasselbe
„Stück Platz“ im momentanen ‚Diskursraum‘ / als (genau) selber
‚Weltausschnitt‘
– [\zum „Platzhalterwesen“ im »Kognischen Raum«; \Das „Fadenkreuz“-Szenario der »Kognik«; \...; \...] - Qualitative Gleichheit:
Dieselbe Substanz / Struktur / Form / Gruppe / Gestalt / ...; dasselbe Prinzip; ...
– [\...; \all die ‚Arten von Prinzip‘; \all die ‚Arten von Potential‘; \...; \...] - Behauptete Gleichheit:
„<...> ist ‚so als ob‘ {...}!“
– [\‚So als ob‘-Paradigmen – ihr Nutzen + ihre Fallstricke; \ „<...> ist {...}!“; \„Isomorphie“ – in unterschiedlichen Aspekten + Graden; \„vergleichen“ – eine kognitive Leistung; \zur ‚Trojanischen Einschleusbarkeit von (Falsch)-Aspekten‘ – im »Kognischen Raum«; \„Prosa“ und „Poetik“ + speziell deren Spielwiese; \...] - Dasselbe
Wirkprinzip am Werk / ...
– [\„Änderung“ – als solche; \„Selbstorganisation“ – als Wirkprinzip; \„Evolution“ – als Wirkprinzip; \»Eingriffe in die WELT« – als Wirkprinzip; \Die N ‚Modalitäten der Existenz + Änderung‘; \„Prozesse“ – als solche; \zum ‚Funktions‘-Paradigma der „Technik + Organisation“; \‚Arten von Prinzip‘; \...; \...] - Derselbe
Urheber / Dasselbe betroffene „Objekt“
– [\„kausal sein“ (oder nicht); \zum Paradigma der „Objektorientierung“; \...] - „{...}
ebenbürtig sein“ – (oder nicht)
– [\„vergleichen“ – eine kognitive Leistung; \„bewerten“: nur einer der ‚Kognitiven Elementarschritte‘; \„Was alles wäre / würde / liefe anders, wenn <...>?; \...; \...] - Das
Daten-Format irgendwohin „übertragen“
– [\„Benutzeroberflächen“ – als solche; \...] - Im
‚Puzzle‘ unmittelbar zusammengehören
– [\„in sich zusammenhängen“ – ein originalseitiges Merkmal; \zueinander komplementäre Zapfen + Nuten; \‚Reißverschlüsse‘ im »Kognischen Raum«; \...; \...] - ...
– [\...; \...]
*****
In Programmiersprachen dagegen bedeutet das „Gleichheitszeichen“ ganz Anderes.
Dort liest es sich so: “Ersetze den Inhalt
bzw. die Position der linken Seite der Zeile durch den Inhalt bzw. die
Position der rechten Seite – gemäß der dort / rechts explizit hingeschriebenen
„Änderungs“-Anweisung.
(Wobei die jeweiligen Inhalte bzw. Positionen absolut angegeben sein
können oder aber relativ zu irgendwelchen, bereits bekannten Positionen.)
Und was genau bedeutet das, wenn es – ähnlich wie oben vorgeführt – in
das Paradigma vom »All-unifizierenden Kognischen Raum« „übersetzt“ wird?: §...§
– [\„Änderung“ – als solche; \als – ‚im Abbildungsseitigen‘ extra vorzuschaltender – Arbeitsschritt: Die „richtige“ ‚Transformation der Dinge‘ in den »Kognischen Raum«; \zur „Isomorphie“ – als Merkmal; \...]
*****
In der Selektion dagegen – z. B. in der „Objektauswahl“ oder in Techniken wie der in der Methodik so genannten „Linearen Programmierung“ oder der „Dynamischen Optimierung“ – „bedeutet“ das ‚Gleichheitszeichen‘ wiederum etwas anderes. Dort dient es der Festlegung einer Randbedingung. Deren Gleichungen begrenzen – in Vorauswahl oder Sollvorgabe – die Menge der für den Rest der Betrachtung überhaupt (noch) zulässigen Werte: den für die weitergehende ‚Kognitive Ansteuerung’ bei der Lösungsfindung überhaupt zulässigen Bereich – im ansonsten so riesigen und unübersichtlichen »Kognischen Raum«.
– [\zur ‚Ansteuerbarkeit der Dinge‘ im »Kognischen Raum«; \Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher; \Das extra ‚Abgrenzungsgeschehen‘ im »Kognischen Raum«; \„Selektion“ – eine kognitive Leistung; \Paradebeispiel: „Zwanzig Fragen“; \‚Diamant sein‘ – im »Kognischen Raum« – \Prinzipgrafik dazu (in 2D); \...]
(Wortfeld: "Abgrenzung";
"Trennlinie"; "Umrahmung"; "Trennfläche oder ein Teil
davon"; "Grenze"
--- „Boolesche Algebra“; „Googeln“ im Internet; ...)
***********
--- Die Symbole = ; ≤ ; ≥ ; < ; > : je nachdem, ob die Grenzlinie / Grenzfläche selbst noch mit zu den zulässigen Werten zählen soll oder nicht. Und auf welcher Seite der hier formelmäßig angegebenen Trennlinie bzw. Hyperfläche diese Werte liegen sollen. ...
--- Ebenso wie beim Lösen
von Differentialgleichungen + In „Linearer
Algebra“ und anderen Optimierungstechniken. ...
– [\‚Diamant sein‘
im »Kognischen Raum«; \Der – all-unifizierbare – »Kognische Raum«: Das Arbeitsgebiet
aller ‚Geistwesen‘; \...]
*****
In der Definition Mathematischer Folgen über x = (xn) mit xn = f(n) besagt das erste der Gleichheitszeichen seinem Sinn nach wiederum Anderes: Setze in der rechten Seite der ersten Formel nacheinander alle Werte ein, die die Funktion f(n) – als Operationsanweisung gesehen – mit wachsendem Wert von n einnimmt. ...
– [\‚sequenziell‘ sein; \...]
*****
Phänomen: Wenn Infinitesimale (wie „dx“ usw.) mit in eine ‚Formel‘ hineingeraten, bei der Berechnung der „Ersten Ableitung“ einer vorgegebenen Funktion etwa, bekommen diese sogar eine miteinander gar nicht verträgliche Doppelfunktion. Mal ist dx zunächst ungleich Null (damit man in den Formeln überhaupt durch diesen Betrag dividieren darf). Mal wird es betrachtet, als sei es gleich Null (z. B. als: 2x + dx = 2x). Obwohl in der mathematischen Bedeutung nicht exakt und eindeutig, können derartige Formeln dennoch richtige (+ wichtige) Ergebnisse liefern!
– [\„Innerer Widerspruch“ – als solcher; \Das „Infinitesimal“ – als Paradebeispiel – \Prinzipgrafik dazu; \all die „Richtigkeitskriterien“ – zur Auswahl; \...]
*****
Äquivalent sein – formal und / oder inhaltlich
§...§
– [\zur „Formalen Logik“; \„Transformierbarkeit“ + Transformationen – als solche; \...]
“The usage of layered
systems has a tremendous explanatory power, a power urgently needed in our
often mediaeval, unscientific ways of planning and problem solving.
Reading <Ken’s> papers I, as a physicist, do enjoy the analogy in layout
and role to my old books on theoretical physics. Sic!
– In contrast to reading classical book on Operation Research with their – often
too specialized – engineering type of "formulae".
Like in physics his „formulae“ are based on clearly established dimensions / elements / systems and precise connections / interactions between them. All the engineering rest is a kind of deduction, is just formalism to be applied according to the rules of the game. …
The difference between both domains lies in the type
of notation used: The ‘Mathematical formulae’ in physics had to and have
been replaced by a ‘specific type of graphs.’”
– [aus
einem Brief vom 24.05.1986 an Ken C. Bowen]
Wenn ich mathematischen Formelkram auch weitgehend vermeiden konnte, so kann ich Sie, lieber Leser, von der zweiten Notationsform leider nicht verschonen!
– [\»Systemische Grafik« – ein Dinge unifizierender ‚Wissensträgertyp‘; \„Systemanalyse“ – als solche; \‚operational sein’ (oder nicht) – ein abbildungsseitiges Unterscheidungsmerkmal; \Die »Regeln der Kunst der Kognik«; \...]
*****
Identität – von Weltausschnitten / Objekten / Zusammenhängen / Merkmalen / Werten:
§...§
– [\„Logik“ + Identitätsbeweise; \(bloße / flexible / dynamische) Konstanthaltung der „Umrahmung“; \...]
*****
In der Gruppentheorie folgt auf das ‚Gleichheitszeichen‘
dasjenige Ergebnis, das herauskommt, wenn auf die Mitglieder der betrachteten
Gruppe mehrere Transformations-Operationen nacheinander
ausgeführt werden. Zwei
Permutationen etwa, nacheinander ausgeführt, ergeben eine dritte Permutation
derselben Elemente. ...
Alle n! möglichen Permutationen zusammen bilden
eine Gruppe sn.
– [\„Transformationen“ – als solche; \zur „Gruppentheorie“; \\Mario Livio: „The Equation that Couldn’t be solved“, p. 45ff. + p. 165; \...]
Alle
Permutationen zusammen bilden mathematisch eine „Gruppe“. Sie bekommen
damit – „top-down“ – die generellen „Gesetzmäßigkeiten von Gruppen“ ‚vererbt’.
+ All diejenigen ihrer ganz speziellen „Art von Gruppe“ + ...
– [\„zusammenhängen“ – als abbildungsseitiges Merkmal; \„Systemanalyse“ – top-down versus: bottom-up; \„Was alles wird anders, wenn <...>?“; \zur ‚Vererbbarkeit + Ererbung von Merkmalen‘ im / aus dem »Kognischen Raum« (Modalität: „Notwendigkeit“); \zum ‚Explikationismus‘ – als solchem; \Gruppen, Typen / Familien von Gruppen + „Gruppentheorie“; \...]
*****
+ Die von all dem vielleicht abweichende ‚Bedeutung‘ des Gleichheitszeichens bei der Definition in noch anderen Sparten der Mathematik: §...§
– [\Die „Palette“ der im ‚Kognischen Raum’ überhaupt vorkommenden ‚Arten von Relation’; \Das „Mathiversum“ – als Unifizierungsergebnis + Arbeitspaket; \„Bedeutung“, „Sinn“ + „Sinngebung“; \...]
*****
Es gibt das „Gleichheitszeichen“ aber auch in der Bedeutung:
„{...} ist Abbild von <...>.“
Egal ob ‚originalgetreu‘ oder nicht. --- „<Das> ist ein Pferd!“ – Ganz ohne Äquivalenz!
– [\Das Szenario: „Kunstakademie“ – ‚Modell stehen‘ als Merkmal; \in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘ ˄ versus: ‚Das Abbildungsseitige‘ ˅ ; \zum ‚Behauptungswesen‘; \ „<...> ist {...}!“; \zur ‚Möbiusschen Verdrehbarkeit der Dinge‘ im »Kognischen Raum«; \„Symbolik“ – als solche; \„isomorph sein“ (oder nicht); \...]
*****
Arbeitspaket: §Expliziere§ hier –
der Vollständigkeit halber – auf ähnliche Weise Symbole wie:
≈ und ≠ §+ ???§
– [\‚Diamant sein‘ im »Kognischen Raum« – \Prinzipgrafik dazu (in 2D); \„wolkig sein“ (können) – als abbildungsseitiges Merkmal; \Kognitiver Freiheitsgrad: „Negation“; \zum ‚Bit‘-Wesen; \...]
*****
Was passiert eigentlich §wo in welchem „Diskursraum“
oder mit diesem selbst?§, wenn eine Variable oder ein Term „ganz aus der Formel
herausfällt“? Sich die Formel entsprechend „kürzen lässt“.
„<...> ist
immer noch identisch mit {...}!“
– [vgl.: Die Schulaufgabe: „Beweisführung"; \Gegenbeispiel: „Der Lattenzaun“; \„gleich“ sein, aber nicht „isomorph“; \‚invariant sein‘ (oder nicht) – ein systemisches Merkmal; \...]
*****
Das Konzept „Produkt“ hat je nach der Sparte der Mathematik ebenfalls höchst unterschiedliche Bedeutung:
·
bei m * n mit ganz-zahligem Multiplikator
n: Start beim Wert 0 + dann genau n-fache Wiederholung der Addition des
Werts m zum vorher bereits erreichten Wert.
(Oder dasselbe nach Vertauschen der
Variablen m und n. Selbst dann möglich, wenn
diese nicht ganzzahlig sind.)
· sonst: §...§
· Vektorprodukt: §...§
· Boolesche Algebra: §...§
· ...
·
„Produkt“ als die Aneinanderreihung einer ganzen Abfolge
von ‚Transformationen’
– [\„Transformationen“
– als solche; \\Ian Stewart: „Pentagonien“, S. 211 + ...]
· ...
*****
‚Explikationen‘ für einige andere mathematische Konzepte nach ihrer Übersetzung in das »Paradigma des Kognischen Raums« und seiner »Abstraktionskegel«
– [\Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher; \als – ‚im Abbildungsseitigen‘ extra vorzuschaltender – Arbeitsschritt: Die „richtige“ ‚Transformation der Dinge in den »Kognischen Raum«’; \Der »Abstraktionskegel zum Weltausschnitt« – als ihn unifizierender ‚Wissensträger‘; \Grafik: „Standard für die Seitenansicht der ‚Weltausschnitte‘ + ihrer Dinge nach deren ‚Transformation‘ in den »Kognischen Raum«“; \...]
·
§Das „Bestimmte Integral“ und die ‚Hoch-Zoomerei’:
Die dabei errechnete Zahl gehört an den ‚Top-Punkt’ des jeweiligen »Abstraktionskegels«
über dem jeweiligen „Integrationsbereich“ (d. h. den im Moment gerade
interessierenden ‚Weltausschnitt’ aus einem mehr oder weniger künstlichen „(Diskurs)-Raum)“.§
– [\Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \Der
‚Weltausschnitt’ – als solcher; \...; \...]
·
§Das „Unbestimmte Integral“: Die ‚Allgemeine
Formel‘ für die Berechnung solcher ‚Top-Werte’. (Hierbei bleibt die Absteckung
des Integrationsbereichs / des gemeinten „Weltausschnitts’ noch variabel.)
– [\‚Rahmenarbeit‘ – als
solche; \...]
§Irgendwie spielen diese beiden Integralwesen auf unterschiedlichen ‚Abstraktions‘-Ebenen!§
– [\Grafik:
„Standard für die Seitenansicht der ‚Weltausschnitte‘ + ihrer Dinge nach
deren ‚Transformation‘ in den »Kognischen Raum«“; \...]
· §Die erste Ableitung – usw.: ...§
· ...
– [\zum ‚Explikationswesen‘ – als solchem; \zum ‚Vererbungsgeschehen im / aus dem »Kognischen Raum«’; \...]
*****
...
*****
\zum ‚Knoten im LÖSUNGS-Netz‘:
„Formeln, Variable und Gleichheitszeichen“
·
Phänomen – Das „Formelwesen“ als ‚Wissbarkeitsgebiet und
Weltausschnitt’ steht nicht isoliert da:
Im Zuge der Versuche zur Lösung der „Quintischen Gleichung“ (a*x5
+ b*x4 + c*x3 + d*x2 + e*x1
= f) stießen die Mathematiker [9] auf ein bis dahin völlig unentdecktes
Wissbarkeitsgebiet:
Die „Galois“-Gruppe und die „Mathematische Gruppentheorie“ mit deren
spezifischen ‚Wissbarkeiten’. Samt dem besonders hohen ‚Explikationsvermögen’ von
„Gruppen“ und ihrer „Symmetrien“. Spannend nachzulesen im Buch von Mario Livio:
„The Equation That Couldn’t be Solved“!
– [\Der ‚Weltausschnitt’
– als solcher; \‚Raumgreifung‘ – hier speziell: im Bereich von „Mathematik,
Paradigmatik und Methodik“ – \Prinzipgrafik
dazu in Seitenansicht + in Draufsicht; \„Mathematik“ & \„Logik“;
\‚Explikationismus‘ – als solcher; \„Symmetrie“ + Symmetriebrechung (↓); \zur „Gruppentheorie“; \„möglich sein“ versus: \„unmöglich sein“; \‚wissbar sein‘ – ein originalseitiges
Merkmal; \‚originalseits‘: „zusammenhängen
/ zusammengehören“ – ‚abbildungsseits‘: richtig miteinander ‚verzapft’
sein; \‚Nachbarschaftsbeziehungen
im »Kognischen Raum«‘ – als solche; \zum ‚Vererbungswesen im /
aus dem »Kognischen Raum«’; \Phänomen:
„explizieren“ (können) – von etwas ganz Anderem; \Das – als
solches noch abstraktionskegelartig zu unifizierende – „Mathiversum“: –
als einem der „Haupttortenstücke des gesuchten Puzzle-GANZEN“; \(Nicht!)-Invarianz /
Nicht-Extrapolierbarkeit der Lösbarkeit solcher Gleichungen; \...]
·
Übung: Durch welche Arten von Forderung /
Zusatzannahme / Systemelement / ‚Trojanische Einschleusung’ / Einbettungssystem
kann man den ‚Formelcharakter‘ einer Beschreibung / „Ordnung“ / ‚Behauptung’ unrettbar
durcheinanderbringen? §...§
– [\„Ordnung“ – ein
erst abbildungsseitiges Merkmal; \allerlei ‚Arten von Behauptung‘;
\Phänomene bei der ‚Verschiebung
einer Froschaugenlinse‘ vor einem originalseits fest-ausgewählten
Hintergrund; \Prinzipgrafik:
„Absturz in die Vermenschlichung“ – in Seitenansicht; \„Oh, Fortuna!“; \zur ‚Trojanischen Einschleusbarkeit von Falsch-Aspekten‘
– im »Kognischen Raum«; \...]
·
N. B.: Die ‚Verbale Sprache’; Die ‚Hierarchie’;
Das ‚Bild’; Die ‚Landkarte’; ...
gliedern die enthaltenen ‚Wissbarkeiten’
irgendwie.
Der Wissensträgertyp „Formel“ dagegen tut dies nicht! §Wenigstens nicht von
sich aus.§
– [\Prinzipgrafik:
„Aufschlüsselungs-Optionen für ein und dasselbe fest umrissene GANZE“;
\Die Palette an anderen ‚Wissensträgertypen’
– \Überblicksgrafik
dazu + \„Mächtigkeitsvergleich“;
\...]
·
Natürlich
ließen sich in dem „Juxkasten“ auch
"IF"-Abfragen aus den Programmiersprachen, Operatoren wie MIN(...)
oder MAX(...) + ... und allerlei an sonstigen Komplikationen einbauen. Und
deren Ergebnis ähnlich soweit kompensieren, dass es am Ende „immer noch stimmt“.
–
[\...; \...]
·
Lösungen
ohne originalseitiges Pendant
Ian Stewart stellt in: "Das Versteck der Andromeda", Kapitel 2, Gulliver
auf seiner dritten Reise dem Erfinder vor, der schon seit 16 Jahren die Pendeluhr
durch die Verwendung eines Doppelten Pendels zu verbessern trachtete.
--- Bei Erweiterung um eine zusätzliche Komponente (oder gleich um mehrere)
ergeben sich auch bei anderen zunächst simplen Dingen oft zusätzliche Phänomene
und Gesetzmäßigkeiten. Manchmal sogar neue Anwendungen. Oder besondere Aufschlüsse
über „Das Zusammenspiel an sich“. Das Doppelpendel, ein Pendel unten an ein anderes
Pendel drangehängt, kann – mathematisch korrekt – in genau vier Stellungen ins
Gleichgewicht kommen. Davon sind jedoch drei Stück von vorneherein „instabil“:
In der originalseitigen WELT, d. h. nach einem Loslassen in der Praxis des
Alltags wird das Doppelpendel in diesen drei, theoretisch ohne
weiteres möglichen, Positionen niemals (wieder) angetroffen werden. [10]
– [\‚Explikationismus‘ – als solcher;
\allerlei ‚Arten von Potential‘; \Der „Jux-Kasten“; \„Was
wäre / würde / liefe anders, wenn <...>?“; \‚wissbar sein‘ – ein originalseitiges Merkmal;
\...]
·
Vgl.: Die
Phänomene bei unterschiedlicher ‚Anlupferei‘ im ebenfalls ‚raumgreifenden’ „Genealogie“-Szenario.
...
– [\zum „Genealogie“-Szenario;
\zur ‚Anlupfbarkeit der Dinge‘ im »Kognischen
Raum«; \zur ‚Raumgreifung‘ – im »Kognischen Raum«
– \Prinzipgrafik
dazu – in Seitenansicht + in Draufsicht; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen;
\...]
·
N. B.: Es passierte erst und ganz speziell
im Zuge des abstrakten Studiums des „Formelwesens“ und der Lösbarkeit von „Gleichungen“,
dass – mehrere Mal in der Geschichte der Mathematik – „ganz neue Arten“ von
Zahlen entdeckt wurden. Erst die negativen Zahlen wie - 1 und -
2 und die (überaus praktische) Rolle der ‚Null’, dann irrationale
Zahlen wie der Wert von π oder der Wurzel aus 2,
die nicht mehr durch Brüche ganzer Zahlen ausgedrückt werden können. Später dann
die imaginären und komplexen Zahlen mit ihrem Auftreten der Quadratwurzel
aus der Zahl -1 als Unterscheidungsmerkmal. Mit denen sich in „Gleichungen“
und „Formeln“ – immer noch nach denselben mathematischen Regeln – rechnen
und argumentieren lässt. Beim weiteren ‚Herumzoomen im Kognischen Raum’ und noch
weiter abstrahierenden ‚Raumgreifen’ stieß man später auch auf die „Fraktale“
mit deren ebenfalls ‚wissbaren‘ Besonderheiten.
All das an „Eroberung“ spielte sich innerhalb des „Mathiversums“ ab. Diesem
eigenständigen ‚Weltausschnitt’ und »Punkt der Kognik«.
– [\Das
– bereits von seiner methodischen Natur her abstraktionskegelförmige – „Mathiversum“;
\Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma
der »Kognik« + \Die
Palette der – generell gültigen – ‚Zoomphänomene‘; \zur schrittweisen
‚Raumgreifung‘ – im »Referenzideal der Abbildung der WELT«; \...;
\„Fraktale“ – als
solche
--- \Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher
fest-umrissen zu halten!; \Definitionsgrafik:
„Der Punkt der Kognik“ + seine (vorerst) drei separaten Zonen; \Prinzipgrafik:
»Abstraktionskegel« + ‚Geschachtelte Weltausschnitte‘– in Seitenansicht
+ in Draufsicht; \...]
·
Phänomen: Nicht nur in der Physik kommt es
vor, dass in neue „Formeln“ einfach ein „Platzhalter“ eingebaut wird (als
zusätzliche „Variable“ oder anpassbarer „Parameter“). Nur um Übereinstimmung
zwischen dieser – rein ‚abbildungsseitigen‘ – „Formel“ und den ihr
entsprechenden – rein ‚originalseitigen‘ – „Experimentalen Daten“
hinzubekommen. Dabei wird unterstellt, dass der „Platzhalter“ ein vorläufiges
Mittel sei, dass nur so lange derart willkürlich dazustehen habe, bis die
Wissenschaft herausgefunden hat oder simulieren konnte, für was er wirklich
steht. ... [11]
– [\in
Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘ ˄
versus: ‚Das Abbildungsseitige‘ ˅
; \(neu erkannte
bzw. bloß gemutmaßte) ‚Weiße Flecken in der Wissbarkeitslandschaft‘; \‚Platzhalterwesen‘ + Planquadrate / ‚Plankegel‘
im »Kognischen Raum«; \Tricks
zur Darstellung von „Unvorstellbarem“; \...]
·
...
–
[\...; \...]
*****
·
Der
Wissensträgertyp „Mathematische Formel“ ist – trotz besonderer kognitiver Nützlichkeit
– beim Laien recht unbeliebt. Ähnlich ergeht es dem Wissensträgertyp ‚Systemische
Grafik‘ – trotz dessen ähnlich hoher Beschreibungs- und
Explikationsmächtigkeit. Auch dem – anfangs in seinen Merkmalen und
Anwendungsmöglichkeiten eher unvorstellbaren – Kernobjekt »Abstraktionskegel« wird
es so ergehen. Damit wird die ‚Kognische Kartografie‘ leben müssen. Selbst nach
der Entdeckung einer tatsächlichen »LÖSUNG des Puzzles WELT« noch!
– [\„Vorstellungsvermögen“ – Verlegerregel;
\‚Systemische Grafik‘ – ein die Dinge teil-unifizierender
‚Wissensträgertyp‘; \Der »Abstraktionskegel«
– ein besonders unifizierungsmächtiger ‚Wissensträgertyp‘; \Die Palette
der überhaupt verfügbaren ‚Wissensträgertypen’ – \Überblicksgrafik
dazu + \dasselbe
in Draufsicht; \(einmal) „fertig sein“
mit dem »Unterfangen Weltpuzzle«; \Die »Kognitive Infrastruktur
der Menschheit« + \Überblicksgrafik
dazu; \»Curriculum zur Kognik«; \„Kontrolljahr 3000“; \...]
·
Mathematikbücher
und Veröffentlichungen in mathematischen oder technischen Fachzeitschriften
stecken meist voll mit „Formeln“. Bei Veröffentlichungen zur »Kognik« wären es
stattdessen wohl „Systemische Grafiken“. Voll mit ‚Seitenansichten‘,
‚Draufsichten‘ und / oder ‚Kognitiven Rundblicken‘ zum jeweiligen
Weltausschnitt / Thema / Fragenkomplex.
– [\‚Seitenansichten‘,
‚Draufsichten‘, ‚Blicke von Innen nach Draußen‘; \„Lokale
Panoramas“ + deren zwangsläufiger Wechsel beim Springen zu anderen
„Beobachter-Positionen“; \zum unterschiedlichen
„Aussehen“ ein und derselben Dinge; \Sammelgrafik:
„allerlei an Seitenansichten“ + \allerlei
an „Draufsichten auf Abstraktionskegel“; \...; \...]
·
Um – ‚im Abbildungsseitigen‘
– das „Formelwesen als solches“ doch noch mit dem ‚Rest der Tortenstücke an Wissbarkeiten
der WELT‘ zu „verzapfen“ und so Alles gemeinsam zu „unifizieren“, müssen erst
einmal all die lokalen (sei es unabhängigen oder abhängigen) ‚Individualitäten‘,
‚Variablen’ und ‚Parameter’ in den als GANZEM gesuchten „Diskursraum“ einbezogen
werden: ebenfalls ‚Komponenten im Puzzlesteingas‘. Im »Pusteblumenlogo der
Kognik« kämen diese „irgendwo ganz weit außen am Rande“ zu liegen.
In ihrem »Gipfellogo« dagegen „irgendwo ganz
weit unten“.
– [\Der jeweilige „Diskursraum“ – als solcher + \seine momentane ‚Aufspannung‘; \all die ‚Tortenstücke‘ im »Kognischen
Raum«; \zur ‚Kognischen
Thermodynamik‘ + ihren Puzzlesteingasen; \Grafik
zur Zielvision: „Das all-unifizierende Netzwerk von Teilkegeln“ – in der Seitenansicht
auf das GANZE + \„Die
Draufsicht dazu“; \zur Erinnerung an die Gestalt +
Struktur des im »Unterfangen
Weltpuzzle« gesuchten: „Gedankengebäudes“; \zur
‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum«; \‚Ausgezeichneter
Blickpunkt‘, Unifizierung + der so besondere Posten des »Privilegierten
Beobachters«; \Grafik:
„Standard für die Seitenansicht„ eines ‚Weltausschnitts‘ + all seiner Dinge
nach deren ‚Transformation in den Kognischen Raum’; \Die Erste unter all den ‚Dimensionen
der Welt‘; \‚Achserei‘-Arbeit – als solche; \zur »Allgemeinsten
Relativität«; \Das »Ultimative
Richtigkeitskriterium zum Puzzle WELT« (qualitativ); \...; \Der LEGE-Raum zum »Puzzle
WELT«
+ \Grafik-Entwurf dazu – in zentrierter
Draufsicht für den »Privilegierten Beobachter« schalenweise ‚ausgerollt‘;
\„Individualitäten“ + all
ihr Einzelnes; \...]
·
Entsprechungen: Im „Formelgehalt“ physikalischer
oder mathematischer Abhandlungen dominiert das „Gleichheitszeichen“. In meinen
Essays und Texten dagegen finden sich zu den jeweiligen Standort- und Blickwechseln
keine „Gleichheitszeichen“. Dort werden, als angehängte Hyperlink-Leisten,
„nur“ die jeweils anderen „Knoten in der Umgebung“ genannt. In
ihrer mit dem jeweiligen Standort dynamisch wechselnden Konstellation: als
‚Kognitive Nachbarschaft‘. [12]
– [\Der ‚Beobachter der WELT‘; \»Einsheit in Vielheit« – ein originalseitiges
Merkmal („zum Nachzeichnen“); \zu all den
‚Nachbarschaftsbeziehungen‘ im »Kognischen Raum«; \„Phänomene“ bei der
‚Verschiebung einer Froschaugenlinse‘ vor einem originalseits fest-ausgewählten
Hintergrund; \zur
„Soll-Struktur“ meiner Dateien – „Die Hyperlinkleisten“; \Die „Navi“-Metapher der »Kognik«; \...;
\...]
·
N. B.: Durch die – in meinen Textformulierungen
oft irritierende – Verwendung von „<... /...>“-Passagen mache ich nichts
anderes, als an das in der Mathematik und Technik so nützliche Variablenwesen
bei den „Formeln“ anzuknüpfen.
Der Lateiner würde dabei an „mutatis mutandis“
denken.
– [\Die „Liesmich“-Datei des
Unterfangens; \‚invariant sein‘ (oder
nicht) gegenüber „Änderungen“ bei: <…> – ein systemisches Merkmal;
\„Was alles wäre anders (oder bliebe unverändert),
wenn <...>?“; \zur ‚Mathematik des
»Kognischen Raums«’; \‚Strukturelle Systemanalyse’ – als solche; \‚Kognitive Ökonomie‘ – als solche
--- \Beispiel: „Edward de Bono - Zusammenfassung“ – als Formulierung
direkt auf das »Unterfangen Weltpuzzle« übertragbar!; \zur ‚Hornblower‘-Strategie
des »Unterfangen Weltpuzzle«; \...; \...]
·
...
– [\...;
\...]