Das Formelwesen der Mathematik und Sachwissenschaften

Was eigentlich hat es da mit dem „Gleichheitszeichen“ auf sich?

– Wie ist das „Formelwesen“ selbst mit dem »Rest des Puzzles WELT« verzapft? –

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– Entwurf aus der Website zum »Unterfangen Weltpuzzle«®  -- https://kognik.de

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--- Achtung: Bisher bloß über Andeutungen zu diesem ‚Plankegel’ / „Tortenstück des Großen GANZEN“ formuliert – unvoll­kommen in deren Ausfüllung mit den „dort lokal“ vorhandenen ‚Wissbarkeiten‘.
Nur einiger der „Hyperlink-Anker“ wegen schon jetzt mit in die Webpräsenz aufgenommen.
                                      --- Bitte nicht von A bis Z „als laufenden Text“ durchlesen! 
                                                                --- Eher durchblättern!

Wortfeld:    Die gerade gemeinten Merkmale; ‚Wissensträger‘ sein; Gleichungen / Gleichungssysteme / Gleichungswesen; Mathematische Formeln + „Die wichtigsten Eigenschaften von Formeln“; ihr „Wirkprinzip“; „anders aussehen“: aber „nichts Neues“; Mathematische Symbole; als „Kognitiver Platsch“ daherkommen; Formelsammlungen (mathematisch / physikalisch / technisch / statistisch / ...); Arithmetik + Algebra; Summe / Differenz / Produkt / Bruch; Wurzel; Differential + Integral; Bedingungen; Konstruktionsvorschrift; Algorithmus; Zahlenraum; Geometrischer Raum; Mathematische Räume; Mathematische Funktion; Mathematische Mengen; Variierbarkeit + Die Variablen (unabhängige / abhängige); Term; Faktor; Koeffizient; Parameter; Die jeweilige Argumentliste; Vektorrechnung; Matrizenkalkül; Tensor-Rech­nung; Dimensions-Analyse; ...; Das (rechnerische / …) Gleichheitszeichen + Die rechte / linke Seite der Formel; Operator; Addition + Subtraktion; Multiplikation + Division; „Dreisatz“; Potenzierung + Wurzelziehen; Mathematische Folgen; ...; Punkt; Kurve; Körper; vergleichen; gleichwertig sein; übertragbar; offen / geschlossen; Identität; Beweis; Berechenbarkeit; Berechnung; Rechenprozedur; Die (jeweilige) Lösung; Entwicklung; Raum + Zeit; Die Dynamik in Bewegungen und Geschehen; Stabiles / Instabiles Gleichgewicht; Maximum / Minimum / Wendepunkte; Nullstelle; ...; Transformation + Transformationsgesetze; Konstanthaltung; Banalität; Die Umkehrfunktion; ...; ...; Unifizierung;  „Invarianzen“ + „Geltungsbereiche“; „Beweis“; „Formale Logik“; Induktion + Deduktion; ...; ...; Grad der Isomorphie zum Original WELT / zu einem gemeinten ‚Weltausschnitt’; Simulation; „Das Apfelmännchen“ als »Abstraktionskegel«; Infinitesimalrechnung + Differentialrechnung; Stammfunktion; Differentialgleichungen; Differential-Quotient; Aneinanderreihung von Prozessen; Permutation; Reihenfolge von Operationen; Klammerung; (Nicht)-Kommuta­tivität + ...; Galois-Theorie; Äquivalenzrelation + Äquivalenzklassen; Die Statusgleichung; Feldgleichung + Zustandsgleichung; kontinuierlich versus: diskret; Prognostizierbarkeit; Einflussfaktoren; Unbekannte; (nicht) repräsentiert sein; Algebraische Umformungen; Gemeinsamer Nenner; Definitionsbereich; Pfad-Analyse; Mathematisch ausgedrückte Kausalität; ...; ...

Jedem Wortfeld sein eigener hochabstrakter „Zentraler Hub“!

Vgl. aus der lokalen kognitiven Nachbarschaft: \in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘  ˄  versus: ‚Das Abbildungsseitige‘  ˅ ; \‚Weltausschnitte‘ – als solche + \deren grundsätzliche ‚Durchzoombarkeit‘; \Die „Palette“ der verfügbaren ‚Wissensträgertypen‘ – (für ihre Beschreibung); \Symbolik + verwendete „Symbole“; \„Bedeutung“, „Sinn“ + Sinngebung; \zum ‚Verzapfungs-Geschehen‘ im Puzzle-Paradigma; \zur ‚Vererbbarkeit + Ererbung von Merkmalen‘ im / aus dem »Kognischen Raum« (= Modalität: „Notwendigkeit“); \„Logik“ + Deduzierbarkeit; \„Mathematik“ – als solche; \Das ‚Mathiversum‘ – seine ‚Unifizierung zum »Abstraktionskegel«‘; \„Platzhalter­wesen“ + „Planquadrate“ / ‚Plankegel‘ – im »Kognischen Raum«; \Die ‚Zähl‘-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \‚invar­iant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Änderungen“ bei: <... / ...> – ein systemisches Merkmal; \„Konstanz“ – als solche; \zum extra: ‚Abgrenzungsschritt‘ – bei der „Definition von Objekten“; \zur ‚Aufspannung‘ des jeweiligen Diskurs- + LEGE-Raums; \‚Achserei‘-Arbeit – als solche + \‚Blumengrafik‘ – ein lokal unifizierender ‚Wissensträgertyp‘; \G. H. Hardy: „A Mathematician’s Apology“; \„Chaostheorie“ – Der Schmetterlingseffekt; \„Transformationen“ – ihre Phänomene + Gesetze; \‚Finite Elemente‘-Technik – auch im »Kognischen Raum«!; \(zum auch abbildungsseitigen Erhalt des originalseits angetroffenen Merkmals): »Einsheit in Vielheit«; \zur ‚Vielheit‘ innerhalb solch einer »Einsheit«‘; \Das »Referenzideal der Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \zur ‚Raum‘-Flanke + \zur ‚Zeit‘-Flanke des »Referenzideals«; \(moderne Theorien) zum „Tortenstück“: ‚Die Welt der Materie + Energie‘; \„Kontext sein“ – als Merkmal; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \zum ‚Fingerabdruckwesen‘ im »Kognischen Raum« – hier: speziell im Diskursraum der Mathematik; \‚Brenn­weite‘ + ‚Tiefenschärfe‘ im »Kognischen Raum« – zwei freie Variable; \all die im »Kognischen Raum«  angetroffenen ‚Nachbarschaftsbeziehungen’; \zur „Prognostizierbarkeit“ + ihren Möglichkeiten + ihren Problemen; \...; \...

Systemische Grafik und Beispiele: \Prinzipgrafik: „Zentraler Hub“ im Netzwerk – in Draufsicht; \allerlei ‚Arten von Wissensträger‘; \ein Fall von „Falscher Gewissheit“; \Elektro-Magnetismus – Die „Maxwellschen Gleichungen“; \Unter­schiedliche ‚Schreibweisen / Formeln / Notationen‘ für ein und denselben Zusammenhang; \Das „Apfelmännchen“\Das MANPWIN-Programm dazu + \Diaschau: „Zoomfahrt durch das Apfelmännchen“; \„Achill & die Schildkröte“ + \Prinzipgrafik dazu; \„Aufschlüsselungsoptionen“ – (diesmal für den vorab fest umrissenen Weltausschnitt „Mathematik & Co.“ anzuwenden); \Paradeobjekt aus „Finiten Elementen“; \(zur abnehmenden) Produktivität der Forschung; \...

Literatur:    dtv-Atlas Mathematik; ...; Mario Livio: „The Equation that couldn’t be solved“; Ian Stewart: “Flatterland”; Don, S. Lemons: „A Student’s Guide to Dimensional Analysis“; \\Wiki: „Mathematica“; \\Wiki: „Formel”; ...; ...
{Der Wissensträgertyp „Arithmetische Gleichung“ + „Algebraische Formel“ ist so klassisch und als Thema und Methode von anderen Autoren schon so ausführlich beschrieben worden, dass ich dazu nur Weniges ausformulieren werde. – Angesichts anderer, dringenderer Arbeits-Pakete im Unterfangen.}     --> Fachliteratur

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Worum es in diesem Teil der Puzzlestein-Sammlung gehen soll:

Der Mensch liebt die Geometrie, die Mathematik und die Logik,
denn als einziges unter den Lebewesen kann er
mit deren „Formeln“ etwas anfangen.

Die „Formel als solche“ jedoch ist nur
 eine Art von ‚Wissensträgertyp’. Eine unter mehreren!

– [\Die „Palette“ der überhaupt verfügbaren ‚Wissensträgertypen’ + \Überblicksgrafik dazu; \‚wissbar sein‘ – hier: speziell zu „Fragestellungen der Mathematik“; \Das „Menschliche Vorstellungsvermögen“ + die ihm aufgeprägten Grenzen; \„ver­gleichen“ – eine kognitive Leistung; \zur ‚An sich‘-Projizierbarkeit der Dinge – als solcher; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber der „Änderung“ bei: <... / …> – ein systemisches Merkmal; \zum Nutzen + den Fallstricken von: ‚So als ob‘-Paradig­men; \Tricks zur Darstellung von: „Unvorstellbarem“; \„Geltungs­bereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...]

*****

 „Aus Vierecken bastelt er sich einen Container oder ein Haus. Den Kreis stellt er hin, und schon wird ein Rad daraus. Wenn wir aus dem Flugzeug gucken, sehen wir, wie die Landschaft geometrisch wird. ...“  – [N. N.]

– [\‚Stützstellenwesen‘ + Näherungstechnik im »Kognischen Raum«; \‚Wissbarkeitslandschaften‘ – als solche; \‚Finite Elemente‘-Technik im »Kognischen Raum«; \„virtuell sein“ – als Merkmal; \...]

*****

§Als ein „Die Dinge“ transformierendes Paradigma weiter auszuarbeiten!§

Alles Jonglieren mit „Gleichungen“ spielt im Rahmen des Handlungswesens. Auch dabei geht es jeweils um (menschliche) »Eingriffe«. Um Eingriffe in eine eigene ‚Art von Welt’, in die Spielwiese des ‚Formelwesens‘, diesem speziellen „Tortenstück“ aus dem »Großen GANZEN der Wissbarkeiten der WELT«. Mit dessen so eigen-artiger ‚Aufspannung als Diskursraum’.

– [\»Eingreifen« in die sich ansonsten ‚selbstorganisierende‘ WELT; \zur „Ideengeschichte“ der Menschheit; \Die ‚Palette der Freiheitsgrade‘ der „Bewegung“ + des „Handelns“ in der kognitiven Welt’; \Das »Referenzideal für die Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \Der jeweilige ‚Bewegungs-, Diskurs- + LEGE-Raum‘ + \dessen spezifische + wechselnde ‚Aufspannung‘; \Transformierbarkeit + „Transformationen“; \„Was alles wäre / würde / liefe anders, wenn: <...>?“; \„möglich sein“ – als Merkmal versus: \„unmöglich sein“; \Grafik: „Pusteblumenlogo“ – mit einer ersten Beschriftung; \zur – abbildungsseitigen – ‚Aus- und Einrollbarkeit‘ der: Diskursraumdimensionen; Merkmale; Zusammenhänge; Kontexte; Fragen; Probleme; Methoden; … + Richtigkeitskriterien; \...]

*****

N. B.: Vor Milliarden von Jahren, als die WELT noch nirgendwo ‚kognitiv abgebildet‘ wurde [1], gab es – ebenso wenig, wie es das auch damals potentiell mögliche „Leben“ bereits „gab“ – schon das „Praktische Formelwesen“. Damals existierte es allein in Form von ‚Wissbarkeiten’.
 --- Im Sinne einer im Rahmen der originalseitigen »Einsheit in Vielheit der WELT« zwar bereits vorhandenen, jedoch noch nie genutzten „Möglichkeit“.

– [\zum originalseitigen Merkmal: »Einsheit in Vielheit«; \zur ‚Abbildbarkeit‘ – als solcher; \all die Arten von „Potential“; \„Wie und wann kamen <hier: Die Mathematischen Formeln> überhaupt in die WELT hinein?“; \Das „Rückspul“-Szenario der »Kognik«; \1Millimeter „Kulturlackschicht“ gegenüber: 1,4 Kilometern „Gesamtdicke“; \Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher jeweils fest-umrissen gehalten; \‚wissbar sein‘ – ein originalseitiges Merkmal; \...
                                                ---  \„Juxkasten“; \zum „Gleichheitszeichen“ – als solchem; \...]

*****

Merkmale

Bei mathematischen Formeln geht es, neben den in ihnen verwendeten Variablen, u. a. um:

Ihre Eigenschaften; Richtigkeit; Die Invarianzen ihrer ‚Behauptungen’; ihre Voraussetzungen; Die Methoden; Die Konsequenzen / ‚Vererbungen’; Die Transformierbarkeiten; ihre ‚Explikationsmächtigkeit’; ihre spezifischen Über- und Unterlegenheiten; ...  

– [\‚Behauptungen‘ – als solche; \„Axiome“, „Theoreme“ + Schlussfolgerbarkeit  (↓) ; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Abänderungen“ bei: <...> – ein systemisches Merkmal; \‚Vererbung‘ von / aus Merkmalen im »Kognischen Raum« (= Modalität: „Notwendigkeit“); \zum ‚Explikationswesen‘; \‚Explikationismus‘ – ein abbildungsseitiges Phänomen; \„Was alles wäre / würde / liefe anders, wenn: <...>?“; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \„Gewissheit“ – in unterschiedlichen Aspekten + Graden; \Transformierbarkeit + „Transformationen“; \...; \...]

*****

Definitionen

·         „Eine Formel ist eine Gleichung, die mathematische oder technische Zusammenhänge (sprich: ‚originalseits in der WELT‘ so vorgefundene bzw. erst ‚abbildungsseits‘ erdachte / erzeugte und damit zunächst nur ‚behauptete’ Zusammenhänge!) in Worten oder Symbolen ausdrückt.“  
{Man beachte: Die „Formeln der Physik“ + ... wie das Gravitationsgesetz, die Maxwellschen Gleichungen usw. leisten jedoch wesentlich mehr als: <etwas> bloß „auszudrücken“!}
– [\„zusammenhängen“ – als originalseitiges Merkmal; \
zum ‚Behauptungswesen‘ + seiner Optionsvielfalt; \zum ‚Vererbungswesen im / aus dem »Kognischen Raum«’; \„extensional sein“ versus: „intensional sein“; \...]

·         §„...“§

*****

Beispiele:

·         Formeln zur Berechnung der Merkmale von: Strecken, Flächen, Volumina, ...

·         (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – (als eine der „Binomischen Formeln“)

·         a*x5 + b*x4 + c*x3 + d*x2 + e*x + f = 0 --- („Die Quintische Gleichung“ --- usw.)

·         Definierende Formeln (etwa in der Physik):
Druck = Kraft / Fläche; Elektrischer Widerstand = Spannung / Stromstärke ... --- usw.; usw.

·         Transformationsgesetze
(z. B. Kartesische Koordinaten <--> Polarkoordinaten; Die Lorentz-Transformation; ...)

·         Formeln als Komponente der Bildungsvorschrift für einen bestimmten wohl-abgegrenzten Wissenskörper
(z. B. für die Mandelbrotmenge als eigenständigem ‚Weltausschnitt’)

·         Formeln zur Berechnung von Optima („Kürzester Weg“; „billigst“; „...“)

·         (1,2) ◦ (1,2,3) ◦ (1,2)-1 = (1,3,2)
(als Multiplikations-Ergebnis einer Abfolge von Permutationen im Rahmen der „Gruppentheorie“)

·         P = f (A; K; I; U; R; E) – (als bloße Aufzählung der Variablen, die für den Messwert und das (‚wissenslandschaftliche‘) Verhalten einer gerade interessierenden Größe P als Einflussfaktoren wirken)
– [\k-DIM; \Beispiel aus: „Produktivität der Forschung“; \...]

·         ...

*****

Zwecke:

Es gibt Formeln für:

·         Definitionen

·         Berechnungen

·         Beweise

·         Mehr oder weniger unifizierende Beschreibungen

·         Soll-Vorgaben; als Ausdruck von „Randbedingungen“
– [\‚Diamanten im »Kognischen Raum«‘ – \Prinzipgrafik dazu; \„Selektion“ – als solche; \ „Lineare Programmierung“ & Co.; \...]

·         §Formelsprache(n) als eigenständige ‚abbildungsseitige‘ Systeme – mit eigenen ‚methodischen Wissbarkeiten’ + Mächtigkeiten / ‚Geltungsbereichen’ + §‚Transformations’- und ‚Kompaktierungsmöglichkeiten’; ...§
– [\„Transformationen“ – als solche; \‚Kompaktierung‘ – als solche; \...; \...]

·         ...

*****

Das Lösungs-Wesen

Es gibt „Gleichungssysteme“ mit:

·         Keiner Lösung

·         Genau einer Lösung

·         Mehreren Lösungen nebeneinander

·         Unendlich vielen Lösungen

·         Gleichungen, die sich garantiert nicht lösen lassen – Beispiel: „Die quintische Gleichung“

·         ...

Als Konzepte sind ‚Gleichungen‘ und ‚Formeln‘ – trotz einer dabei intern vielleicht bemühten Unendlichkeit – etwas, was – zumindest in den jeweils eingesetzten Symbolen – abzählbar ist.
                                „Abzählen“ aber passiert immer nur ‚im Abbildungsseitigen’!

– [\Der jeweilige „Diskursraum“ + \seine spezifische ‚Aufspannung‘; \zur Zähl-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \Hochzählung von „Partnerkategorien“; \‚Achserei‘-Arbeit – als solche; \Fallstrick: ‚Absolutheits‘-Behauptung; \Definitionsgrafik: »Der Punkt, der sich teilen lässt«; \... --- \Der LEGE-Raum zum »Puzzle WELT« + \Grafik-Entwurf dazu – in zentrierter Draufsicht für den »Privilegierten Beobachter« schalenweise ‚ausgerollt‘; \...]

*****

Das Wesen von algebraischen Gleichungen

Egal, was an Werten man – etwa in die binomische Formel – auch einsetzt, und egal wie weit diese Variablen auch hergeholt sein mögen:

Die Formel gilt!

Sie gilt „immer“, d. h. als „Abstraktion“ stellt sie – angesichts der unendlichen mathematischen Menge an als getrennten ‚Wissbarkeiten’ möglichen Werte-Kombinationen – eine ungeheure Vereinfachung dar.

‚Hochzoomend’ im »Paradigma der Kognik« gesprochen!

Analoges gilt für all die anderen „Algebraischen Formeln“. Ebenso aber auch für die Unabhängigkeit von Computerprogrammen von den gerade zur geflissentlichen Errechnung von außen her in sie eingegebenen Werten: den jeweiligen „Inputs“. Und auch für die Unabhängigkeit der „Benutzeroberflächen“ von den auf ihnen gerade auszuführenden Programmen + Aktionen.
                       + für die diese in Art und Aussehen bestimmenden ‚Kognitiven Freiheitsgrade’.

– [\‚invariant sein‘ (oder nicht)  – als systemisches Merkmal; \Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \„Komplexität“ und – verlustfreie – Reduktion; \Die jeweiligen „Geltungsbereiche“; \Gegenbeispiel: „Alkohol + Wasser“; \zur ‚Vererbbarkeit‘ + all der Ererbung von Merkmalen im / aus dem »Kognischen Raum«; \‚Ecken + Glatte Kanten im Puzzle‘; \„Orthogonalität“ – als solche; \„Formaler Umweg“ über den jeweiligen ‚Top’; \\Formelsammlungen am Markt; \„Benutzer­oberflächen“ – als solche; \Die ‚Palette der Freiheitsgrade‘ der „Bewegung“ + des „Handelns“ in der kognitiven Welt’; \...]  

*****

Mathematische Funktionen

§...§      
--> all die Lehrbücher

*****

Phänomene

·      Das „Sich kreuzen“-Können zweier Geraden oder Kurven in einem gemeinsamen „Punkt“:
Dazu braucht es aber erst einmal einen gemeinsamen „Diskursraum“ für beide Linien (+ für all die anderen überhaupt möglichen „Punkte“).
– [\allerlei ‚Arten von Punkt‘; \Die „Linie“ – als ‚Wissensträgertyp‘; \...; \„Raum“-Charakter haben / bekommen; \‚Verlorene Dimensionen‘ + ihre abbildungsseitigen Folgen; \‚aus- und einrollbar sein‘ – als Diskursraumdimensionen, Merkmale, Fragen + Richtigkeitskriterien; \‚Finite Elemente‘-Technik  – hier: diejenige im „Klassischen Raum“; \...]

·      „Parallel zueinander“ sein: in (Diskurs)-Räumen, wo speziell dieses Merkmal überhaupt geht

·      Gleichungen, die sich „lösen lassen“ + solche, die sich nicht lösen lassen
                        (zumindest nicht über die bislang üblichen Methoden)
          [Beispiel: Die „Quintische Gleichung“ – \\Mario Livio, „The Equation that couldn’t be solved]

·      <Die vorliegende> Gleichung kann auch geschrieben werden als: „{...}“.

·      Die Sonderrolle der Zahl Null + Die bekannten Paradoxien beim Rechnen mit ihr
               – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch 0. ... [2]

·      ...
– [\„Maxwell & Co.“; \Der „Punkt“ der klassischen Geometrie; \‚Der Punkt dagegen, der sich teilen lässt‘ – \Grafik zu seinen (zunächst) drei separaten Zonen; \‚Explikationismus‘ – ein rein abbildungsseitiges Phänomen; \...]

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Das Gespinst der Formeln, das da geknüpft / unterschiedlich ‚angelupft’ wird / mit dem da ‚herum-operiert’ wird, lässt eine imaginäre, höchst abstrakte Welt entstehen, die sich immer weiter von der Alltagsvorstellung und dem Alltagsverstand der Erdenbürger entfernt. Eine Welt, die trotz reduzierter Vorstellbarkeit der gesuchten ‚Originaltreue’ aber weiterhin dienlich sein kann. Auch, wenn dies nicht unbedingt immer so der Fall ist.

– [\Das ‚Guckloch‘-Paradigma der »Kognik«; \zu den Grenzen unseres „Vorstellungsvermögens“; \Das – idealisierende – „Anlupf“-Szenario der »Kognik«; \‚operational sein‘ – ein abbildungsseitiges Unterscheidungsmerkmal; \‚Originaltreue‘ – als Richtigkeitskriterium; \„Technik + Industrie“; \zur „Ökonomie“; \...; \„Simulierbarkeit“ + Simulationen; \Tricks zur Darstellung von „Unvorstellbarem“; \...]

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Die „Formelsprache“ im Spannungsfeld zwischen ‚Abbildungsseitigem’ und ‚Originalseitigem’:

Das ‚Formelwesen‘: Ein besonderes ‚Paradigma’ / Ein spezieller ‚Wissensträgertyp’ / Eine ganz bestimmte ‚Daten-Struktur’

1.   „Formelsprache“ als Mittel zur Beschreibung des »Originals WELT«

2.   „Formelsprache“ für eigenständige (gemachte oder doch machbare) Objekte in der WELT [3]

3.   „Formelsprache“ zur Darstellung / Eingrenzung der Menge an ‚abbildungsseits‘ überhaupt vorhandenen Möglichkeiten

– [\in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘  ˄  versus: ‚Das Abbildungsseitige‘  ˅ ; \‚Beschreibungsweisen‘ + Paradigmenwechsel; \Die Palette der überhaupt verfügbaren ‚Wissensträgertypen’; \all die Arten von „Datenstruktur‘; \Das „Mathiversum“ – in ‚Abstraktionskegel‘-Form dargestellt ; \...]

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N. B.: Indische Mathematiker entwarfen das Dezimalsystem und führten die Null ein.

Doch das war, auch wenn es gestelzt klingen mag, nichts anderes als das ‚Aufgreifen’ einer ganz bestimmten, eigentlich uralten – „ewigen“ – ‚Wissbarkeit der WELT’. Bzw. einer schon damals längst vorhandenen ‚Kognitiven Machbarkeit’. ...

– [\‚wissbar sein‘ – ein originalseitiges Merkmal; \(geschickte) ‚Raumgreifung‘ – als solche; \(bereits) „möglich sein“; \...]

+ Die methodische Voraussetzung für deren praktischen Einsatz

       --> \Der extra ‚Abgrenzungsschritt‘ – als solcher        – \\Robert Kaplan: „Die Geschichte der Null“

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Zählbarkeit

Es sind bloß die ‚Umrahmungen,
die in der (so riesigen) ‚Zählszene’ tatsächlich gezählt werden.

Die „Inhalte“ der jeweils ‚Umrahmten Weltausschnitte’ wären ohne implizit angenommene – rundherum um die gerade gemeinten Dinge geschlossene – ‚Rahmen’ nur ‚kognitiv unhandlicher Nebel’. Blieben unklar zerfließende ‚Vielheit’. ...

– [\in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘  ˄  versus: ‚Das Abbildungsseitige‘  ˅ ; \Der ‚Weltausschnitt‘ – als solcher jeweils fest-umrissen gehalten!; \Das extra ‚Abgrenzungsgeschehen im Kognischen Raum’; \„Rahmen“ als solche + „Umrahmung sein“ für Anderes als Merkmal; \zur ‚Vielheit’ in der »Einsheit der WELT«; \Das »Referenzideal für die Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \zur ‚Zähl‘-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \‚Rah­menarbeit‘ – als solche; \„wolkig sein“ – als Merkmal; \Testgrafik: „Sind das wirklich zwei Stück Bleistift?“; \...]

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Manche Formeln jedoch sind etwas ganz Besonderes:

Sie gelten nicht nur für sich, „mathematisch richtig“, sie gelten auch bei der Beschreibung der Zusammenhänge in einem ganz bestimmten ‚Ausschnitt aus der WELT’. Gültig dabei als Abbildung für die »Einsheit in Vielheit« in etwas, was in Wirklichkeit ‚originalseits ist’. Und dort (von jedermann, der sich dafür interessiert) so und nicht anders vorgefunden wird.

Sie und nur sie verknüpfen / explizieren die ‚Wissbarkeiten zu diesem Weltausschnitt’ auf eindeutige und originalgetreue Weise. Und definieren somit in der Verknüpfung von oft nur wenigen Symbolen gleich einen ganzen »Abstraktionskegel«. Sie selbst (oder der Punkt des Zusammentreffens ihrer ,raumgreifend’ aufspannenden Achsen im Diskursraum + Verknüpfungen) bilden dessen ‚Top-Punkt’.

Sie legen den betreffenden »Abstraktionskegel«
nach Aussehen und Inhalt
bereits eindeutig fest.

– [\„zusammenhängen“ – als originalseitiges Merkmal; \Der jeweilige ‚Weltausschnitt’; \Der »Abstraktionskegel« dazu – als ‚Wissensträgertyp‘; \‚Aufspannungsoptionen‘ für ganze „Diskursräume“; \Das – originalseits so unabänderlich angetroffene – Merkmal: »Einsheit in Vielheit«; \Paradebeispiel: „Die Maxwellschen Gleichungen“; \zur ‚Vererbbarkeit + Ererbung‘ von Merkmalen im / aus dem »Kognischen Raum« --- (Modalität: „Notwendigkeit“); \Paradebeispiel: „Das Apfelmännchen“; \‚Raumgreifung‘ – als solche; \zur ‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum« – unter dem Kriterium: „Stimmigkeit“; \...]

*****

Doch solche in Bezug auf das »Original WELT«
besonders explikationsmächtige Formeln
gibt es
– angesichts der abbildungsseitigen Unmenge an kombinatorisch machbaren „Formeln“ –
nur ganz wenige!

– [\Szenario „Taumelnde Kamera“; \„Objektabgrenzung“ – als extra Arbeitsschritt; \Der „Systembegriff“; \„invariant sein“ (oder nicht) gegenüber Änderungen bei: <…> – ein systemisches Merkmal; \...; \„Eichinvarianz“ – als solche; \...]

*****

Physiker etwa lernen zu Beginn ihrer Karriere, dass es – trotz der nachweislich mathematischen Einfachheit der wirkenden Naturgesetze – unmöglich ist, „Exakte Lösungen“, gemeint sind wiederum ‚Mathematische Formeln‘, zu finden, sobald in den Problemen mehr als zwei Körpern im Raum gravitativ wechselwirken: Fachsprachlich „Drei-Körper-Problem“ genannt. Je mehr „Körper“ es sind / sein sollen, desto „schlimmer“ wird es.

– [\„unmöglich sein“ – als Merkmal; \...; \zur „Klassischen Thermodynamik“ + ihren Hauptsätzen; \...; \...]

In der Astronomie erhält man daher keine mathematisch exakte Lösung mehr, sobald mehr als zwei Gestirne oder sonstige Himmelskörper im Spiel sind. Oder wenn Erde, Transport-Rakete und Raumstation in der Bahnberechnung gleichzeitig berücksichtigt werden müssen.

Viel-Körper-Probleme bleiben zwar immer noch per Computer ‚simulierbar‘ und so dennoch „lösbar“ (weil die „Erhaltungsgesetze von Impuls, Energie und Drehimpuls“ bei Anwesenheit von Gravitations­feldern weiter gelten), die Bahnen der beteiligten Körper jedoch lassen sich, obwohl derart deterministisch festgelegt, nicht mehr als „Geschlossene Formel“ ausdrücken.

-->   Generalisiert: Als in der Mathematik immer wiederkehrende Frage, ob es für eine bestimmte „Differentialgleichung“ überhaupt eine „Geschlossene Lösung“ gibt.

– [\Modellarbeit – „Dreikörperproblem“; \‚Stützstellenwesen‘ + ‚Näherungstechnik‘ im »Kognischen Raum«; \„Simulierbar­keit“ + Simulationen – als solche; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Änderungen“ bei <... / ...> – ein systemisches Merkmal; \zur ‚Materiellen Welt‘ + (explikationsmächtige) „Differentialgleichungen“; \...]

§--- usw., usw. mit dem „Mathematischen Formelwesen“§

*****

Die Wahl der Symbole

Die Schreibkonventionen sind dabei ziemlich beliebig. Eigentlich austauschbar! Die konventionsmäßig verwendeten Symbole sind mit Sicherheit nicht das Wichtigste an der Formel. Was aber ist es stattdessen? ...

Bei Versuchen in Richtung auf eine »Mathematik des Kognischen Raums« / »Mathematik der Kognik« werden wir ähnlichen Optionen und Fragen begegnen! ...

– [\Die ‚Abbildtheorie‘ – ihre „Richtigkeitsinstanz #4“; \zum „Standardisierungswesen“ – als solchem; \O-Zitat: G. H. Hardy; \zur ‚Mathematik der Kognik’; \Die ‚Regeln der Kunst der Kognik‘; \...]

*****

N. B.: Das eindeutig auf natürliche Weise (d. h. ohne Mitwirkung jeglichen Formelkrams) ‚in Selbstorganisation’ entstandene Arrangement der Dinge im »Original WELT« nahm und nimmt auf solch ‚abbildungs­seitige‘ Probleme, sprich: auf die Handicaps der Physiker, Philosophen und sonstigen Weltbildmacher ebenso wenig Rücksicht wie auf das so begrenzte ‚Vorstellungsvermögen der Menschen’. ...

– [\‚Selbstorganisation‘: Das im »Original WELT« vorherrschende „Wirkprinzip“; \Das ‚Vorstellungsvermögen‘ + seine biologisch bedingten Grenzen; \Das ‚Guckloch‘-Paradigma der »Kognik« – mit seinen so natürlichen ‚Vererbungen’; \Tricks zur Darstellung von „Unvorstellbarem“; \...]

*****

Andererseits:

Warum – um Himmels willen –
gehorcht die „Natur“ denn so oft
der „Mathematik“ und der „Logik“?!

– [\»Einsheit in Vielheit« – als Merkmal + \zu all der ‚Vielheit’ im »Original WELT«; \‚Selbstorganisation‘ – als Wirkprinzip; \Überblicksgrafik: „Entwicklung des Kosmos“; \zu: „Logik“ + „Vernunft“; \‚Vererbungsgeschehen im / aus dem »Kognischen Raum«’ – (in Modalität: „Notwendigkeit“); \Das „Prinzip der Kleinsten Wirkung“ / „Prinzip der Stabilität“; \Die „Raum“-Flanke des »Referenzideals der Abbildung der WELT« versus: Die – allemal abbildungsseitige – „Geometrie“; \...; \...]

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Dasselbe aus fremder Feder

„What is the relation between mathematics (formulated in a world of perfect objects – in mathematical space) and physics (which applies to our imperfect world – in representative space, and yet is formulated with mathematics)?”

– [\in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘  ˄  versus: ‚Das Abbildungsseitige‘  ˅ ; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...; \...]

*****

Arithmetik    §usw.§

Hier interpretiert im Paradigma der »Kognischen Optik«:

§...§

– [\gleichzeitig: »Einsheit« und ‚Vielheit‘ sein – \Prinzipgrafik dazu – in Draufsicht; \Paradebeispiel: „Das Pascalsche Zahlendreieck“; \...; \...]

*********

Schulaufgabe – „Beweisführung“     
– [vgl. auch den: Jux-Kasten]

Wieso eigentlich sind die beiden „Seiten“ der folgenden Formel gleich?

b3/ n3 * (n * (n +1) * (2n + 1))/6 = b3 * 1/6 * (1 + 1/n) * (2 + 1/n)

Ausdruck 1                   =                 Ausdruck 2

Das Ganze ist vorerst nur Behauptung. Denn die Formel könnte ja auch falsch sein.
– [\
zum ‚Behauptungswesen‘; \...]

§Diese Formel besser mit waagerecht durchgezogenen Bruchstrichen zeichnen. Damit sie noch erschreckender aussieht!§

1. Lösungsschritt – „Umplatzierung“ der beiden Nenner:

b3/n3*(n*(n+1)*(2n+1))/6 = b3/6*(n*(n+1)*(2n+1))/n3

         Ausdruck 1                                          Ausdruck 3

Erkenntnis:   b3 / 6    =      b3*1/6          oder      (b3/6) / (b3*1/6) =  1

                                      Ausdruck a        Ausdruck b                            Ausdruck c          Ausdruck d

==> Vereinfachung der Aufgabe:

Warum ist: (n*(n+1)*(2n+1))/n3 = (1+1/n)*(2+1/n) ?

                                            Ausdruck 4                          Ausdruck 5

2. Lösungsschritt: (n*(n+1)*(2n+1))/n3 = (n*(n+1)*(2n+1))/ n*n2

                                               Ausdruck 4                          Ausdruck 6

==> Vereinfachung: Warum ist (n+1)*(2n+1)/n2 = (1+1/n)*(2+1/n)

                                                                                  Ausdruck 7                 Ausdruck 8

3. Lösungsschritt: (n+1)*(2n+1)/n2 = (n+1)*(2n+1)/(n*n)

                                              Ausdruck 7                      Ausdruck 8            

              „Umschreibung“ durch Auftrennung des Bruchstrichs
                        (als der der Zielformel ähnlicheren Struktur):

(n+1)*(2n+1)/(n*n) = (n+1)/n*(2n+1)/n

      Ausdruck 8                           Ausdruck 9

==> Vereinfachung: Warum ist (n+1)/n = (1+1/n) und (2n+1)/n = (2+1/n)?

4. Lösungsschritt und Beweis-Ende:

Beide Mal die Division durch n explizit durchführen!

*****

Invarianz- / Varianz-Analyse

Welches sind die Gemeinsamkeiten und welches die Unterschiede der ‚Kognitiven Fingerabdrücke’ der Ausdrücke 1 bis 9 bzw. der Ausdrücke a bis d?

– [\zum ‚Fingerabdruckwesen‘ im »Kognischen Raum« – hier: speziell im „Diskursraum der Mathematik“; \...]

·            Die Anzahl der Terme + Ihre unterschiedliche Einfachheit

·            Die jeweils enthaltenen „Andockzapfen“ / Art der Terme und ihrer Elemente im Ausdruck, als ‚Puzzlestein’
– [\zur ‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum«; \...]

·            Die Zeichnungsweise des Bruchstrichs (als Schrägstrich bzw. als waagerechter Strich)

·            Die dabei verwendeten „Schreib-Symbole“

·            ...

*****

{Was sonst noch Alles an mathematischen Ausdrücken bzw. Termen wäre hier ebenfalls richtig?
+ Was Alles sonst noch kommt Einem bei nicht zum Beweis führenden Lösungsversuchen unter?
        = ... = ...; durchmultiplizieren; ziellos durchprobieren; echte Zahlenwerte einsetzen; ...

Die Quasi-Beliebigkeit der „Arme“ (=>  Puzzlestein-Gestalt). Doch das ist solange in Ordnung, wie „zunächst falsche“ Terme / Arme irgendwo in der Formel von anderen Armen / Termen neutralisiert werden.}

{Themen: „Syntax“; „Semantik“ usw.}

*****

Interpretationsweisen

In dem Beispiel sind die Terme rechts und links der Gleichheitszeichen so etwas wie Pfeile, die aus verschiedenen Richtungen allesamt auf denselben „Punkt“ (im Raum / im selben Gebilde) hinweisen. Insgesamt betrachtet würden sie (bei umgekehrter Leserichtung aller „Pfeile“) eine Art „Igel“ bilden.

Doch in welcher Art von „Diskursraum“ passiert das eigentlich? Was an zusätzlichen „Koordinatenachsen“ braucht es bis zum vollständigen – „unifizierenden“ – ‚Aufspannen’ genau dieses Raumes?

So, dass er am Ende ohne weiteres
für alle anderen irgend denkbaren Formeln gilt!

+ Wozu gehört dieser „Diskursraum“ kognisch-kartografisch selbst? [4]

– [\Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \Die ‚Palette der Zoomphänomene‘; \Die grundsätzliche ‚Überzoombarkeit’ der Weltausschnitte + ihrer Dinge; \‚Latenzierung’ als solche; \Der – pro Punkt – jeweils „Zentrale Hub“; \Das „Mathiversum“ – ebenfalls dargestellt als: \»Punkt, der sich teilen lässt« + \Definitionsgrafik: »Der Punkt der Kognik«; \„Spuren“ des »Kognischen Raums« – in der Alltagssprache; \...]

*****

Warum eigentlich erscheinen so viele / fast alle Formeln der Wissenschaft in der Gestalt von „Gleichungen“? Sind sichtbar mit einem „Gleichheitszeichen“ versehen? [5]

Weil sich auf diese Weise die jeweiligen Vererbungen („Notwendigkeiten“),
die allesamt vom Merkmal: »Einsheit der WELT« her stammen,
explizit ausdrücken lassen.

– [\„<...> ist / hat / kann {...}!“; \zu den – so unterschiedlichen – Bedeutungen des „Gleichheitszeichens“; \...]

*****

Aber daneben auch:

·         All die „Chemischen Formeln“:  §...; ...§
– [\„Mendelejew“; \„Technik“; \„Systembiologie“; \...]

·         All die Beschwörungsformeln: zum „Gleichmachen von Wunsch und Realität“
– [\Fallstrick: ‚Möbiussche Verdrehbarkeit der Dinge‘ – im »Kognischen Raum«; \...]

·         All die „Zahlenmystik“:  §...§
– [\zur ‚Zähl‘-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \„Symbolik“ – Geisterbeschwörung; \„Astrologie“; \...]

·         Das ‚Mathematisch Ausdrücken‘-Können von „Kausal-Überzeugungen“
– [\„Kausalität“; \...; \...]  

·         ...
– [\...; \...]

*****

Nicht nur rhetorische Fragen

Lassen sich eigentlich beliebige Achsen völlig frei zu Koordinatensystemen ‚kombinieren‘?
Mit trotzdem einem gemeinsamen Koordinaten-Ursprung? Wann das und wieso? Und wann nicht?

--- Wie aber steht es bei ‚Falschbehauptungen‘?? --- den Richtigkeitskriterien???  ---

Inwieweit muss man dabei darauf achten, immer nur ‚originalseits‘ Vorgegebenes zu verwenden?
                                                  Ab wann wird die Hinzufügung riskant??

– [\Szenario: „Kunstakademie“; \Kognitiver Freiheitsgrad: „Kombination“; \zum Nutzen + den Fallstricken von ‚So als ob‘-Paradigmen; \Paradebeispiel: Die M-Theorie der Physik; \Das „Mathiversum“ – als solches + als Arbeitspaket; \...; \zum »Rütteltestwesen im Kognischen Raum«; \Fallstrick: ‚Möbiussche Verdrehung der Dinge‘ im »Kognischen Raum«; \„Kartesi­sche“ versus: „Polare“ versus: »Kognische« Koordinaten; \...; \...]

*****

Ø     Der Satz des Pythagoras: In einem „Rechtschenkligen Dreieck“ ist die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Hypothenusen-Quadrat

                                              „a2 + b2 = c2

Ø     Der „Höhensatz“ + Der „Kathetensatz“ (usw.) der Dreiecksgeometrie

Im Unterschied etwa zum:

v    Satz des Albert Einstein: „E = mc2“

-----------

Beide Arten sind ‚Formeln‘,
jedoch mit einem bedeutenden qualitativen Unterschied. (vgl. oben)

*****

Kommutativität / Nicht-Kommutativität von „Operatoren“

Bei Aneinanderreihung von „Prozessen“ sind wir gewohnt, dass die zeitliche Reihenfolge eine Rolle spielt. Mathematisch gesprochen sind nicht alle Prozesse „kommutativ“. Wer vom Schuss des Gegners bereits getötet wurde, kann auf diesen nicht zurückschießen.

N. B.: Es ist die Nicht-Kommutativität der daran beteiligten „Operatoren“, die letztlich die Andersartigkeit und die Unvorstellbarkeit der ‚Quantenwelt’ ausmachen.

– [\Der „Prozess“ – als solcher; \»Eingriffe in die WELT« – auch diejenigen: im „Mathematischen Raum“!; \Kognitiver Freiheitsgrad: „Kombination“; \„Quantenmechanik“ – Die Unschärferelation; \Nicht-kommutative „Geometrie“; \zur „Gruppentheorie“; \...]

*****

Ein Ableitungs-Beispiel

§Nimm irgendein klassisches Beispiel: Beschreibe darin eine längere Ableitung „per Formelkram“ – korrekt nach den Gesetzen der Logik durchgeführt. Vom gemeinsamen ‚Top-Punkt’ (als »Einsheit«) aus betrachtet und von dort her in gewisse Teile aus dessen ‚Vielheit’ zergliedert. Dabei ‚die Dinge in den »Kognischen Raum« übersetzt’!

In „Tiefe“ und „Breite“ etwa so,
wie es im (völlig andersartigen) ‚Weltausschnitt’
des Paradebeispiels \Aristoteles vorgeführt wird.§

– [\„Axiome“, „Theoreme“ + Schlussfolgerbarkeit  (↓) ; \als – ‚im Abbildungsseitigen‘ extra vorzuschaltender – Arbeitsschritt: Die „richtige“ ‚Transformation der Dinge in den »Kognischen Raum«’; \zur ‚Vielheit‘ innerhalb einer bereits vorgefundenen oder künstlich gesetzten »Einsheit«; \zu all den – im »Kognischen Raum« – so angetroffenen ‚Nachbarschaftsbeziehungen’; \...]

*****

Integral- / Differentialrechnung

Wann geht es dabei um eine konsistente „Abbildung“ der (stimmigen) Verknüpfung zweier ‚direkt benachbarter’ Zoom-Ebenen? --- Wann dagegen um ganz anderes?

– [\Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \„Transformationen“ – als solche; \„Nachbarschaftsbeziehungen“ im »Kognischen Raum« – natürliche versus: künstliche; \...]

*****

§...§

*****

Differentialgleichungen + Differentialgleichungssysteme

Das ‚Gleichheitszeichen‘ bedeutet da eine Bedingung. Keine bloße, womöglich sogar allgemeingültige Feststellung. Die Lösung dazu, falls es überhaupt eine gibt, muss die durch die Formeln ausgedrückte Bedingungen allesamt erfüllen.

+ Wie im Einzelnen lautet das Ergebnis, falls es (s. o.)
überhaupt „geschlossene“, d. h. formelmäßig ausdrückbare Lösungen dafür gibt?

– [\Der gerade gemeinte / zuständige ‚Weltausschnitt‘; \„Selektion“ – als solche; \zur „Materiellen Welt“ + all ihren Gesetzmäßigkeiten; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Änderungen“ bei: <…> – ein systemisches Merkmal; \‚Diamanten sein‘ im »Kognischen Raum« – \Prinzipgrafik dazu – (in 2D); \‚Stützstellenwesen‘ + ‚Näherungstechnik‘ im »Kognischen Raum«; \Foto-Metapher: „in sich verschränkt“ + (die Differentialgleichung zu diesem „Geschehen“); \...]

*****

Das Lösen einer Gleichung "n-ten Grades"

§...§

§...; vgl. dazu Mario Livio: „The Equation that Couldn’t be Solved“; …§

– [\zur „Gruppentheorie”; \...; \...]

*****

Phänomen

Bei der Suche in mehreren Physikbüchern sahen die „Maxwellschen Gleichungen“, so wie sie dort formelmäßig dargestellt waren, völlig verschieden aus: im Vergleich miteinander keinesfalls als „immer wieder Dasselbe“ an Gesamtzusammenhang zu erkennen. Zumindest nicht auf Anhieb und für Laien schon gar nicht.

Als das „momentan entscheidend Wichtige“
für die Erklärung der dahinterstehenden Physik,
das sie tatsächlich sind.

– [\Die ‚vierte’ versus: Die ‚zweite’ der Richtigkeitsinstanzen der „Abbildtheorie“; \...]  

**********

Nicht viel anders steht es bei den ‚Termen‘ im nachstehenden „Jux-Kasten“:

Jux-Kasten 

Vereinfachungen im Formelwesen
(ähnlich als *.pps-Datei – ebenfalls „aus fremder Feder“)

Jeder angehende Mathematiker muss früh lernen, dass es nicht von gutem Geschmack zeugt,
                                        die Summe zweier Mengen in der Form

·         1 + 1 = 2                                                                                           (1)

zu schreiben. Jeder fortgeschrittene Student weiß, dass

·         1 = ln e                                                                                             (2) 

und weiter, dass

·         1 = sin2 q + cos2 q                                                                             (3)

ist. Zusätzlich ist es für den einsichtigen Leser offensichtlich, dass

·                                                                                              (4)

ist. Deshalb kann die Gleichung (1) wissenschaftlicher ausgedrückt werden als

·         ln e  + (sin2 q+ cos2 q) =                                                      (5)

Es ist unmittelbar ersichtlich, dass

·         1 = cosh p √(1-tanh2 p)                                                                     (6)

ist, und da

·         e = lim für ∂ --> ∞ über (1 + 1/∂)                                                   (7)

ist, kann die Gleichung (5) weiter vereinfacht werden zu

·         ln (lim für ∂ --> ∞ über (1 + 1/∂)) + (sin2 q+ cos2 q) = 
    Summe N=0 bis ∞ (cosh p √1-tanh2 q/2n)                                    (8)

Wenn wir beachten, dass

·         0! = 1                                                                                                  (9)

ist und uns in Erinnerung rufen, dass die Inversion der Transposition gleich der Transposition der Inversion ist, können wir uns aus der Beschränkung des eindimensionalen Raums befreien, indem
wir den Vektor X einführen.

Dann ist

(X')-1 – (X-1)' =  0                                                                                     (l0)

Die Kombination von Gleichung (9) und Gleichung (10) ergibt

[(X')-1 (X-1)']! = l                                                                                   (11)

die, eingesetzt in Gleichung (8), unseren Ausdruck reduziert auf

ln {lim für ∂ --> ∞ über{[(X')-1 (X-1)'] + 1/∂ }} +  (sin2 q + cos2 q) =

               Summe N = 0 bis ∞ (cosh p √1 tanh2 q/2n)                           (12)

An diesem Punkt sollte es offensichtlich sein,
dass die Gleichung (12) viel klarer und leichter zu verstehen ist
als Gleichung (1)!

Andere Methoden von ähnlichem Charakter könnten auch benutzt werden, um die Gleichung (1) zu vereinfachen. Diese werden jedem sofort ins Auge fallen, wenn er einmal die grundle­genden Prinzipien der Gleichsetzung erfasst hat. 
[frei nach: John J. Siegtried, University of Wisconsin, 1970]

– [vgl. dazu auch: \„Alkohol + Wasser“; \„Achill und die Schildkröte“; \...]

*****

All diese Ausdrücke haben den Wert "1" und zeigen als „Pfeile“ auf ein und denselben „Punkt im (Zahlen)-Raum“. Als jeweils individueller Puzzlestein um diesen einen Wert herum „platziert“ hat jeder der Ausdrücke jedoch auch noch seinen eigenen, ihn von all den anderen unterscheidenden ‚Kognitiven Fingerabdruck’.

– [\„Information“ + jeweiliger Zweck; \zum ‚Fingerabdruckwesen‘  – im »Kognischen Raum«; \Das ‚Puzzle‘-Paradigma der »Kognik«; \„Zentraler Hub“ sein – als Merkmal; \Das (uns zunächst seltsam scheinende) hochabstrakte Merkmal: »Einsheit in Vielheit«; \...]

*****

Arbeitspaket dazu

Auslotung, für welche – weiter variierten – Term-Arrangements die Gleichheit der „linken und der rechten Seite der Formel“ sonst noch zwingend gilt. Und bei welchen scheinbar winzigen Änderungen daran schon nicht mehr. ...

– [\all die ‚Arten von Änderung‘; \‚Explikationismus‘ – als solcher; \zur ‚Vielheit‘ innerhalb der – jeweiligen – »Einsheit«– \Prinzipgrafik dazu – in Draufsicht; \(bloße) „Zugehörigkeit“ – als Verknüpfungskriterium; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...]

*****

§Optionen für noch weitere „Vereinfachung“

Unterwegs frech einen Variablennamen auswechseln + eines der Symbole durch irgendetwas völlig Anderes ersetzen. Etwa durch etwas, was bislang niemand als ‚Standard’ kennt. Oder in seiner Funktion akzeptieren würde! + ... + ...§

– [\„Standardisierung“; \...]

*****

Phänomen

Speziell bei Formeln „in 1. Näherung“ dominiert als Verknüpfung plötzlich das Pluszeichen.

Mit der vergleichsweise einfachen Berechenbarkeit seiner Ergebnisse. Egal wie operator-mäßig kompliziert die „Formel für die tatsächlichen Zusammenhänge“ auszusehen hätte:

Die beteiligten „Differentialquotienten“ werden da am Ende
schlicht aufaddiert.

– [\„zusammenhängen“ – als originalseitiges  versus: als abbildungsseitiges Merkmal; \zur ‚Näherungstechnik‘ – als solcher; \zum ‚Delta+-Geschehen der Erkenntnis‘; \...; \...]

Beispiele:

§„Technische Forschung“: Die Einflüsse auf deren Produktivität§

*****

Wie und warum eigentlich kam das Gleichheitszeichen in die Welt hinein?

Übersetzung des Jux-Beispiels in das Paradigma vom »Unifizierten Kognischen Raum«
§Rohentwurf / Ideen-Sammlung§

– [\»Einsheit« – als Merkmal; \‚Vielheit’ – als solche; \„Wie-kam <...> überhaupt in die WELT hinein?“; \Der jeweils zu unifizierende „Diskursraum“; \zur ‚Ansteuerung der Dinge‘ – im »Kognischen Raum«; \allerlei andere Formen von „Gleichheit“; \Arbeitspaket: Das „Mathiversum“; \...]

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Zu jeder einzelnen Zahl führen im Zahlenraum unendlich viele unterschiedliche Wege.

·         Zur Zahl „2“ gelangt man etwa, indem man von der Zahl „1“ ausgeht und die gleiche Zahl „1“ dazu addiert. Oder an der Position 1 der Zahlengerade losgeht und an diese Gerade eine gerade Strecke der Länge 1 hinzufügt. Oder indem man sich irgendeine andere zum Ergebnis „2“ passende Kombination von zwei oder mehreren positiv- und negativ-wertigen Summanden hernimmt.
Oder stattdessen irgendwelche Positionen und entsprechende Strecken passend kombiniert.
{Dabei gibt es verschiedene Lesemöglichkeiten für die Reihung der Summanden: von links nach rechts, von rechts nach links oder ...: gemäß dem „Kommutationsgesetz der Summation“.}
– [\Kognitiver Freiheitsgrad: „Kombination“; \...; \...]

·         Jede „Unendliche Reihe“ führt ebenfalls, von irgendeinem Ausgangspunkt aus, schrittweise irgendwohin. Einige unter den – überhaupt – aufstellbaren Unendlichen Reihen führen sogar genau zu unserer Zahl „2“. Im ‚Abbildungsseitigen‘ gibt es – als wahrnehmbare + realisierbare Möglichkeiten unendlich viele solche Reihen! Es ist nur ein Klacks, irgendeine vorliegende (noch nicht passende) Reihe soweit abzuändern, dass sie von irgendeinem bestimmten, beliebig gewählten Startpunkt aus über beliebig gewählte Zwischenstationen (als ‚Soll-Stützstellen’) zu irgendeiner ebenso beliebigen Zielposition im Raum führt. Und somit zum gerade gemeinten Zahlenwert. Jede Verbindungsroute verläuft im Raum wie ein „Ariadnefaden“, jede von ihnen über unterschiedliche Zwischenstationen.
– [\„Möglichkeit“ – als solche; \„unmöglich sein“; \‚Stützstellenwesen‘ + „Näherungstechnik“ im »Kognischen Raum«; \‚verschränkt sein‘ – ein Merkmal im / des »Kognischen Raums«; \‚Ariadnefäden‘ im »Kognischen Raum«; \zum ‚Direttissimawesen‘ im »Kognischen Raum« – als solchem; \...]

·         ... usw.  --- für all die anderen der obigen Wege / für all die noch möglichen ‚Reisevarianten‘ / für all die Wegstücke zum (hier) immer gleichbleibenden Ziel. ---  („Alle Wege führen nach Rom!“)
– [\
‚Herumreisen- + Herumspringen-Können‘ in all den Gegenden + Weiten des  »Kognischen Raums«; \Prinzipgrafik: „Stützstellen“ + Zielerreichung; \...]

Die Glieder einer Formel sind im Grunde nur Wegstücke oder Arbeitsanweisungen der Art:
                        „Nehme zuerst <...>“  bzw.  „Gehe zuerst nach <...>“ --- „und tue dann <...>”!
Und das gleich mehrfach.

Die linke und die rechte Seite einer Formel legen jede für sich eine einzige ganz spezifische (vielleicht geknickte) Wegstrecke des Fortschreitens im Zahlenraum fest. Abstrakter gesagt: in der ‚Ding an sich‘-Projektion der „Zahlen“. Falls die Formel aus irgendeinem Grunde nicht stimmt, eines Rechenfehlers wegen etwa, so gibt es dennoch beide Wegstrecken. Nur treffen sich diese nicht im selben „Punkt“ zusammen.
§Womöglich gehören beide Seiten dieser Formel oder einzelne der Wegstrecken sogar nicht einmal zur selben Gegend des ‚Unifizierten Diskursraums’!§
– [\zur „An-sich-Projizierbarkeit“ von Dingen; \Der – all-unifizierte – »Kognische Raum«; \all die „Landschaften“ im »Kognischen Raum«; \ ...]

Jonglieren mit Formeln in obiger Weise bedeutet also nur, Zugangswege auszutauschen oder diese im Rahmen der Möglichkeiten abzuändern. Sie beispielsweise um bestimmte Umwege anzureichern. Oder sie all die momentan vorgefundenen Schlenker überbrückend – maximal abzukürzen. Alles an zwischendurch angesteuerten Positionen im Raum bleibt grundsätzlich möglich. Ist „korrekt“ – solange bei den Manipulationen nur die Identität des rechts und links vom Gleichheitszeichen reisemäßig angesteuerten „Punktes“ gewahrt bleibt.
[\‚herumreisen‘ + ‚herumspringen‘ (können) im »Kognischen Raum«; \zur ‚Aufschäumbarkeit der Dinge‘ – im »Kognischen Raum«; \zur „Straffung von Ariadnefäden im »Kognischen Raum«“; \zum ‚Direttissimawesen‘ – als solchem; \...]

Werden dagegen – wie in der Arithmetik und Algebra so oft – einzelne Glieder einer Gleichung von der „rechten zur linken Seite“ des Gleichheitszeichens verschoben oder umgekehrt von links nach rechts (d. h. wird ein Term – exakt nach den Regeln der Mathematik – vor bzw. hinter das Gleichheitszeichen umgeschaufelt), so wird dadurch nur der von beiden Seiten her gerade angesteuerte Zielpunkt ausgewechselt. Beispielweise vom Wert „2“ hin zum Wert „1“ – oder auf irgendeinen anderen Zahlenwert [6] . Es wird also nur – unterwegs bei der entsprechenden mathematischen Operation – eine andere Position „zum Zielbereich“ deklariert“.

Doch jeder Bearbeitungsschritt muss die Identitätsbedingung für den Endpunkt der Zugangs-Wege weiter einhalten. So kann – auch mehrstufig – die Position des Zielpunktes in die unterschiedlichsten Richtungen und zu den unterschiedlichsten Orten des vorhandenen Raums hingelenkt werden.
Jede Dritt- oder sonstige „Fremd“-Position kann auf diese Weise, so dies aus irgendwelchen Gründen erwünscht ist, in einen der Zugangswege eingebunden werden (oder in beide gleichzeitig).
Und damit natürlich auch die 0 und alle „Imaginären und Komplexen Zahlen“.
                                       Oder ein völlig anderer „Koordinatenursprung“.
– [\„zusammenhängen“ – ein originalseitiges Merkmal; \zur ‚Verschränktheit‘ im »Kognischen Raum« – \Prinzipgrafik „Zentraler Hub“ – in Draufsicht; \Das »Große Fragezeichen zum Puzzle WELT«; \...; \...]

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 Algebra: Generalisierung in „Formeln – mit abhängigen und unabhängigen „Variablen“
                                                                         §...§
– [\...; \‚Brennweite‘ + ‚Tiefenschärfe‘ im »Kognischen Raum« – zwei freie Variable; \...]

Das „Gleichheitszeichen“ vermerkt:

·         entweder die Identität des Wegziels für die linke und die rechte Seite der Formel [7]

·         oder es bildet eine Sollbedingung bei der Suche nach „Der LÖSUNG, etwa in der Art:
„Suche einen oder alle Werte x, und zwar so, dass die entsprechenden Wege von der linken und der rechten Seite des Gleichheitszeichens sich in einem einzigen Punkt, in einer einzigen Kurve / Formel / Geltungsbereich / ... treffen. Mit Zusatzfragen eventuell wie: „Wo genau liegt der so ausgezeichnete Punkt?“ + „Wo gibt es Grenzen zu diesem ‚Geltungsbereich’?“ Sofern es überhaupt eine Lösung gibt!
„Wo liegt das Optimum einer bestimmten Zielfunktion über diesem Bereich?“; „Wo überhaupt liegen die Maxima, Minima, Wendepunkte, Nullstellen, Unstetigkeiten, … <dieser> Funktion?“; „Wie also wäre der Weg – anhand von §unabhängigen§ Variablen / Parametern – auszugestalten, damit es mit dem Zusammentreffen in Gleichheit wie gewünscht funktioniert?“
– [\„Axiome“, Theoreme + Schlussfolgerbarkeit (↓); \„Optimierbarkeit“ – als solche / als kognitive Leistung; \Mathe­matik – „Differentialgleichungen“; \„isomorph sein“ – in unterschiedlichen Aspekten; \„Selektion“ – als solche; \„Geltungsbe­reiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...]

§N. B.: Der Zahlenraum bzw. der §...§-Raum (oder was eigentlich an Allgemeinstem als „Diskursraum“?!) wird dabei für all die Positionierungen und Wege von vorneherein als ‚landschaftlich existent‘ + in sich konstant vorausgesetzt. „Axiomatisch“, als abbildungsseitige Tatsache also. Oder als zwingendes Ergebnis aus der wiederholten Anwendung einer bestimmten Operation §bzw. in der Angewandten Mathematik§ gleich von irgendetwas ‚Originalseitigem‘ her so suggeriert.
                      („Spannung“ + „Stromstärke“; „Finanzaufwand“ + „Zinseszins“; ...; …)
– [\all die „Wissbarkeitslandschaften“ innerhalb des »Kognischen Raums«; \Die „Zähl“-Szene des »Referenzideals der Abbildung der WELT«; \Grafik: »Pusteblumenlogo der Kognik«  – mit erster Beschriftung“; \‚Weltausschnitte’: rundum fest-umrissen – und damit erst zählbar; \Der extra ‚Abgrenzungsschritt’ – als abbildungsseitige Schaffung „eigenständig handhabbarer Objekte“; \...]

§ Phänomen? §: Rund um die „2“ herum sind im zuständigen „Diskursraum“ demnach unendlich viele „Gleichheitszeichen“ platziert. Allesamt bereit zum Andocken der Ergebnisse ihrer unterschiedlichen Darstellungs- bzw. Berechnungswege.
– [ \„Jux-Kasten“ der Mathematik; \zur ‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum«; \‚Beschreibungsweisen‘ + Paradigmenwechsel – \Prinzipgra­fik: „Zentraler Hub“ – in Draufsicht; \zum Merkmal: ‚Verschränktheit‘ – im »Kognischen Raum«; \...]

§Daneben gibt es dort noch massenhaft „Ungleichheits-Zeichen“ („ “) – und zwar noch viel mehr als Gleichheitszeichen!    {+ was sonst noch alles an Mathematischen Symbolen?!}§

*****

Im „Anlupf“-Szenario der »Kognik«

Was alles an überhaupt machbaren „Formeln“ ergibt im Ergebnis genau den Wert „2“? Diese Frage stellt sich beim ‚Anlupfen’ eines jeden anderen Zahlenwerts genauso.

Ähnlich taucht diese Frage jedoch auch im Umgang mit dem »Referenzideal der Kognik« auf.

– [\Prinzipgrafik: „Schlapp daliegendes Netzwerk“; \Das „Anlupf“-Szenario der »Kognik«; \„Mengen“ + Mengenlehre; \„Infinitesimale“ + Konvergierende Reihen – \Prinzipgrafik dazu; \Das »Referenzideal der Abbildung der WELT« – in seiner Rolle als: ‚Allseits-Transparente Box‘; \allerlei aufschlussreiche ‚Szenarios der Kognik‘; \...]

*********

Das Algebraische Gleichheitszeichen

„Wenn links vom Gleichheitszeichen: <...> angesetzt wird, dann hat ‚im Sinne der Logik‘ in der Algebra dasjenige, was rechts von ihm steht, zwingend zu gelten!“

Umgekehrt: „Wenn links vom Gleichheitszeichen: {...} angesetzt wird, dann ‚gilt im Sinne der Logik‘ rechts von ihm zwingend: <...>!“ [8]

*****

Allerlei an Bedeutungsmöglichkeiten für das: „Gleichheitszeichen“

– [\„Bedeutung“, „Sinn“ + Sinngebung; \„Gleichheit“ – als Merkmal; \...; \...]

*****

In Programmiersprachen dagegen bedeutet das „Gleichheitszeichen“ ganz Anderes.

Dort liest es sich so: “Ersetze den Inhalt bzw. die Position der linken Seite der Zeile durch den Inhalt bzw. die Position der rechten Seite – gemäß der dort / rechts explizit hingeschriebenen „Änderungs“-Anweisung.
(Wobei die jeweiligen Inhalte bzw. Positionen absolut angegeben sein können oder aber relativ zu irgendwelchen, bereits bekannten Positionen.)
Und was genau bedeutet das, wenn es – ähnlich wie oben vorgeführt – in das Paradigma vom »All-unifizierenden Kognischen Raum« „übersetzt“ wird?: §...§

– [\„Änderung“ – als solche; \als – ‚im Abbildungsseitigen‘ extra vorzuschaltender – Arbeitsschritt: Die „richtige“ ‚Transformation der Dinge‘ in den »Kognischen Raum«; \zur „Isomorphie“ – als Merkmal; \...] 

*****

In der Selektion dagegen – z. B. in der „Objektauswahl“ oder in Techniken wie der in der Methodik so genannten „Linearen Programmierung“ oder der „Dynamischen Optimierung“ – „bedeutet“ das ‚Gleichheitszeichen‘ wiederum etwas anderes. Dort dient es der Festlegung einer Randbedingung. Deren Gleichungen begrenzen – in Vorauswahl oder Sollvorgabe – die Menge der für den Rest der Betrachtung überhaupt (noch) zulässigen Werte: den für die weitergehende ‚Kognitive Ansteuerung’ bei der Lösungsfindung überhaupt zulässigen Bereich – im ansonsten so riesigen und unübersichtlichen »Kognischen Raum«.

– [\zur ‚Ansteuerbarkeit der Dinge‘ im »Kognischen Raum«; \Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher; \Das extra ‚Abgrenzungsgeschehen‘ im »Kognischen Raum«; \„Selektion“ – eine kognitive Leistung; \Paradebeispiel: „Zwanzig Fragen“; \‚Diamant sein‘ – im »Kognischen Raum« – \Prinzipgrafik dazu (in 2D); \...]

(Wortfeld: "Abgrenzung"; "Trennlinie"; "Umrahmung"; "Trennfläche oder ein Teil davon"; "Grenze"
--- „Boolesche Algebra“; „Googeln“ im Internet; ...)

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--- Die Symbole  =    ;    <  ;  >  :  je nachdem, ob die Grenzlinie / Grenzfläche selbst noch mit zu den zulässigen Werten zählen soll oder nicht. Und auf welcher Seite der hier formelmäßig angegebenen Trennlinie bzw. Hyperfläche diese Werte liegen sollen. ...

--- Ebenso wie beim Lösen von Differentialgleichungen + In „Linearer Algebra“ und anderen Optimierungstechniken. ...
– [\‚Diamant sein‘ im »Kognischen Raum«; \Der – all-unifizierbare – »Kognische Raum«: Das Arbeitsgebiet aller ‚Geistwesen‘; \...]

*****

In der Definition Mathematischer Folgen über x = (xn) mit xn = f(n) besagt das erste der Gleichheitszeichen seinem Sinn nach wiederum Anderes: Setze in der rechten Seite der ersten Formel nacheinander alle Werte ein, die die Funktion f(n) – als Operationsanweisung gesehen – mit wachsendem Wert von n einnimmt. ...

– [\‚sequentiell‘ sein; \...]

*****

Phänomen: Wenn Infinitesimale (wie „dx“ usw.) mit in eine ‚Formel‘ hineingeraten, bei der Berechnung der „Ersten Ableitung“ einer vorgegebenen Funktion etwa, bekommen diese sogar eine miteinander gar nicht verträgliche Doppelfunktion. Mal ist dx zunächst ungleich Null (damit man in den Formeln überhaupt durch diesen Betrag dividieren darf). Mal wird es betrachtet, als sei es gleich Null (z. B. als: 2x + dx = 2x).  Obwohl in der mathematischen Bedeutung nicht exakt und eindeutig, können derartige Formeln dennoch richtige (+ wichtige) Ergebnisse liefern!

– [\„Innerer Widerspruch“ – als solcher; \Das „Infinitesimal“ – als Paradebeispiel – \Prinzipgrafik dazu; \all die „Richtigkeitskriterien“ – zur Auswahl; \...]

*****

Äquivalent sein – formal und / oder inhaltlich

§...§

– [\zur „Formalen Logik“; \„Transformierbarkeit“ + Transformationen – als solche; \...]

“The usage of layered systems has a tremen­dous explanatory power, a power urgently needed in our often mediaeval, unscientific ways of planning and problem solving. Reading <Ken’s> papers I, as a physicist, do enjoy the analogy in layout and role to my old books on theoretical physics. Sic!
– In contrast to reading classical book on Operation Research with their – often too specialized – engineering type of "formulae".

Like in physics his „formulae“ are based on clearly established dimen­sions / elements / systems and precise connections / interactions between them. All the engineering rest is a kind of deduction, is just formalism to be applied according to the rules of the game. …

The difference between both domains lies in the type of notation used: The ‘Mathematical formulae’ in physics had to and have been replaced by a ‘specific type of graphs.’”
– [aus einem Brief vom 24.05.1986 an Ken C. Bowen]

Wenn ich mathematischen Formelkram auch weitgehend vermeiden konnte, so kann ich Sie, lieber Leser, von der zweiten Notationsform leider nicht verschonen!

– [\»Systemische Grafik« – ein Dinge unifizierender ‚Wissensträgertyp‘; \„Systemanalyse“ – als solche; \‚operational sein’ (oder nicht) – ein abbildungsseitiges Unterscheidungsmerkmal; \Die »Regeln der Kunst der Kognik«; \...]

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Identität – von Weltausschnitten / Objekten / Zusammenhängen / Merkmalen / Werten:

§...§

– [\„Logik“ + Identitätsbeweise; \(bloße / flexible / dynamische) Konstanthaltung der „Umrahmung“; \...]

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In der Gruppentheorie folgt auf das ‚Gleichheitszeichen‘ dasjenige Ergebnis, das herauskommt, wenn auf die Mitglieder der betrachteten Gruppe mehrere Transformations-Operationen nacheinander ausgeführt werden. Zwei Permutationen etwa, nacheinander ausgeführt, ergeben eine dritte Permutation derselben Elemente. ...
                                Alle n! möglichen Permutationen zusammen bilden eine Gruppe sn.

– [\„Transformationen“ – als solche; \zur „Gruppentheorie“; \\Mario Livio: „The Equation that Couldn’t be solved“, p. 45ff. + p. 165; \...]

Alle Permutationen zusammen bilden mathematisch eine „Gruppe“. Sie bekommen damit – „top-down“ – die generellen „Gesetzmäßigkeiten von Gruppen“ ‚vererbt’.
                 + All diejenigen ihrer ganz speziellen „Art von Gruppe“ + ...

– [\„zusammenhängen“ – als abbildungsseitiges Merkmal; \„Systemanalyse“ – top-down versus: bottom-up; \„Was alles wird anders, wenn <...>?“; \zur ‚Vererbbarkeit + Ererbung von Merkmalen‘ im / aus dem »Kognischen Raum« (Modalität: „Notwendigkeit“); \zum ‚Explikationismus‘ – als solchem; \Gruppen, Typen / Familien von Gruppen + „Gruppentheorie“; \...]

*****

+ Die von all dem vielleicht abweichende ‚Bedeutung‘ des Gleichheitszeichens bei der Definition in noch anderen Sparten der Mathematik:     §...§

– [\Die „Palette“ der im ‚Kognischen Raum’ überhaupt vorkommenden ‚Arten von Relation’; \Das „Mathiversum“ – als Unifizierungsergebnis + Arbeitspaket; \„Bedeutung“, „Sinn“ + „Sinngebung“; \...]

*****

Es gibt das „Gleichheitszeichen“ aber auch in der Bedeutung:

„{...} ist Abbild von <...>.“

Egal ob ‚originalgetreu‘ oder nicht. --- „<Das> ist ein Pferd!“ – Ganz ohne Äquivalenz!

– [\Das Szenario: „Kunstakademie“ – ‚Modell stehen‘ als Merkmal; \in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘  ˄  versus: ‚Das Abbildungsseitige‘  ˅ ; \zum ‚Behauptungswesen‘; \ „<...> ist {...}!“; \zur ‚Möbiusschen Verdrehbarkeit der Dinge‘ im »Kognischen Raum«; \„Symbolik“ – als solche; \„isomorph sein“ (oder nicht); \...]

*****

Arbeitspaket: §Expliziere§ hier – der Vollständigkeit halber – auf ähnliche Weise Symbole wie:
 ≈  und   §+ ???§

– [\‚Diamant sein‘ im »Kognischen Raum« – \Prinzipgrafik dazu (in 2D); \„wolkig sein“ (können) – als abbildungsseitiges Merkmal; \Kognitiver Freiheitsgrad: „Negation“; \zum ‚Bit‘-Wesen; \...]

*****

Was passiert eigentlich §wo in welchem „Diskursraum“ oder mit diesem selbst?§, wenn eine Variable oder ein Term „ganz aus der Formel herausfällt“? Sich die Formel entsprechend „kürzen lässt“.
                                                        „<...> ist immer noch identisch mit {...}!“

– [vgl.: Die Schulaufgabe: „Beweisführung"; \Gegenbeispiel: „Der Lattenzaun“; \„gleich“ sein, aber nicht „isomorph“; \‚invariant sein‘ (oder nicht) – ein systemisches Merkmal; \...]

*****

Das Konzept „Produkt“ hat je nach der Sparte der Mathematik ebenfalls höchst unterschiedliche Bedeutung:

·         bei m * n mit ganz-zahligem Multiplikator n: Start beim Wert 0 + dann genau n-fache Wiederholung der Addition des Werts m zum vorher bereits erreichten Wert.
(Oder dasselbe nach Vertauschen der Variablen m und n. Selbst dann möglich, wenn diese nicht ganzzahlig sind.)

·         sonst: §...§

·         Vektorprodukt: §...§

·         Boolesche Algebra: §...§

·         ...

·         „Produkt“ als die Aneinanderreihung einer ganzen Abfolge von ‚Transformationen’
– [\„Transformationen“ – als solche; \\Ian Stewart: „Pentagonien“, S. 211 + ...]

·         ...

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‚Explikationen‘ für einige andere mathematische Konzepte nach ihrer Übersetzung in das »Paradigma des Kognischen Raums« und seiner »Abstraktionskegel«

– [\Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher; \als – ‚im Abbildungsseitigen‘ extra vorzuschaltender – Arbeitsschritt: Die „richtige“ ‚Transformation der Dinge in den »Kognischen Raum«’; \Der »Abstraktionskegel zum Weltausschnitt« – als ihn unifizierender ‚Wissensträger‘; \Grafik: „Standard für die Seitenansicht der ‚Weltausschnitte‘ + ihrer Dinge nach deren ‚Transformation‘ in den »Kognischen Raum«“; \...]

·         §Das „Bestimmte Integral“ und die ‚Hoch-Zoomerei’:
Die dabei errechnete Zahl gehört an den ‚Top-Punkt’ des jeweiligen »Abstraktionskegels« über dem jeweiligen „Integrationsbereich“ (d. h. den im Moment gerade interessierenden ‚Weltausschnitt’ aus einem mehr oder weniger künstlichen „(Diskurs)-Raum)“.§
– [\Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik«; \Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher; \...; \...]

·         §Das „Unbestimmte Integral“: Die ‚Allgemeine Formel‘ für die Berechnung solcher ‚Top-Werte’. (Hierbei bleibt die Absteckung des Integrationsbereichs / des gemeinten „Weltausschnitts’ noch variabel.)
– [\‚Rahmenarbeit‘ – als solche; \...]
§Irgendwie spielen diese beiden Integralwesen auf unterschiedlichen ‚Abstraktions‘-Ebenen!§
– [\Grafik: „Standard für die Seitenansicht der ‚Weltausschnitte‘ + ihrer Dinge nach deren ‚Transformation‘ in den »Kognischen Raum«“; \...]

·         §Die erste Ableitung – usw.: ...§

·         ...

– [\zum ‚Explikationswesen‘ – als solchem; \zum ‚Vererbungsgeschehen im / aus dem »Kognischen Raum«’; \...]

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...

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Weiterungen zum Thema

\zum ‚Knoten im LÖSUNGS-Netz‘:

„Formeln, Variable und Gleichheitszeichen“

·         Phänomen – Das „Formelwesen“ als ‚Wissbarkeitsgebiet und Weltausschnitt’ steht nicht isoliert da:
Im Zuge der Versuche zur Lösung der „Quintischen Gleichung“ (a*x5 + b*x4 + c*x3 + d*x2 + e*x1 = f) stießen die Mathematiker [9] auf ein bis dahin völlig unentdecktes Wissbarkeitsgebiet:
Die „Galois“-Gruppe und die „Mathematische Gruppentheorie“ mit deren spezifischen ‚Wissbarkeiten’. Samt dem besonders hohen ‚Explikationsvermögen’ von „Gruppen“ und ihrer „Symmetrien“. Spannend nachzulesen im Buch von Mario Livio: „
The Equation That Couldn’t be Solved“!
– [\Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher; \‚Raumgreifung‘ – hier speziell: im Bereich von „Mathematik, Paradigmatik und Methodik“ – \Prinzipgrafik dazu in Seitenansicht + in Draufsicht; \„Mathematik“ & \„Logik“; \‚Explikationismus‘ – als solcher; \„Symmetrie“ + Symmetriebrechung (↓); \zur „Gruppentheorie“; \„möglich sein“ versus: \„unmöglich sein“; \‚wissbar sein‘ – ein originalseitiges Merkmal; \‚originalseits‘: „zusammenhängen / zusammengehören“ – ‚abbildungsseits‘: richtig miteinander ‚verzapft’ sein; \‚Nachbarschaftsbezie­hungen im »Kognischen Raum«‘ – als solche; \zum ‚Vererbungswesen im / aus dem »Kognischen Raum«’; \Phänomen: „explizieren“ (können) – von etwas ganz Anderem; \Das – als solches noch abstraktionskegelartig zu unifizierende – „Mathiversum“: – als einem der „Haupttortenstücke des gesuchten Puzzle-GANZEN“; \(Nicht!)-Invarianz / Nicht-Extrapolierbarkeit der Lösbarkeit solcher Gleichungen; \...]

·         Übung: Durch welche Arten von Forderung / Zusatzannahme / Systemelement / ‚Trojanische Einschleusung’ / Einbettungssystem kann man den ‚Formelcharakter‘ einer Beschreibung / „Ordnung“ / ‚Behauptung’ unrettbar durcheinanderbringen?    §...§
– [\„Ordnung“ – ein erst abbildungsseitiges Merkmal; \allerlei ‚Arten von Behauptung‘; \Phänomene bei der ‚Verschiebung einer Froschaugenlinse‘ vor einem originalseits fest-ausgewählten Hintergrund; \Prinzipgrafik: „Absturz in die Vermenschlichung“ – in Seitenansicht; \„Oh, Fortuna!“; \zur ‚Trojanischen Einschleusbarkeit von Falsch-Aspekten‘ – im »Kognischen Raum«; \...]

·         N. B.: Die ‚Verbale Sprache’; Die ‚Hierarchie’; Das ‚Bild’; Die ‚Landkarte’; ...
                                  gliedern die enthaltenen ‚Wissbarkeiten’ irgendwie.
Der Wissensträgertyp „Formel“ dagegen tut dies nicht!       §Wenigstens nicht von sich aus.§
– [\Prinzipgrafik: „Aufschlüsselungs-Optionen für ein und dasselbe fest umrissene GANZE“; \Die Palette an anderen ‚Wissensträgertypen’ – \Überblicksgrafik dazu + \„Mächtigkeitsvergleich“; \...]

·         Natürlich ließen sich in dem „Juxkasten“ auch "IF"-Abfragen aus den Programmiersprachen, Operatoren wie MIN(...) oder MAX(...) + ... und allerlei an sonstigen Komplikationen einbauen. Und deren Ergebnis ähnlich soweit kompensieren, dass es am Ende „immer noch stimmt“.
– [\...; \...]

·         Lösungen ohne originalseitiges Pendant
Ian Stewart stellt in: "Das Versteck der Andromeda", Kapitel 2, Gulliver auf seiner dritten Reise dem Erfinder vor, der schon seit 16 Jahren die Pendeluhr durch die Verwendung eines Doppelten Pendels zu verbessern trachtete.
--- Bei Erweiterung um eine zusätzliche Komponente (oder gleich um mehrere) ergeben sich auch bei anderen zunächst simplen Dingen oft zusätzliche Phänomene und Gesetzmäßigkeiten. Manchmal sogar neue Anwendungen. Oder besondere Aufschlüsse über „Das Zusammenspiel an sich“. Das Doppelpendel, ein Pendel unten an ein anderes Pendel drangehängt, kann – mathematisch korrekt – in genau vier Stellungen ins Gleichgewicht kommen. Davon sind jedoch drei Stück von vorneherein „instabil“: In der originalseitigen WELT, d. h. nach einem Loslassen in der Praxis des Alltags wird das Doppelpendel in diesen drei, theoretisch ohne weiteres möglichen, Positionen niemals (wieder) angetroffen werden. [10]
– [\‚Explikationismus‘ – als solcher; \allerlei ‚Arten von Potential‘; \Der „Jux-Kasten“; \„Was wäre / würde / liefe anders, wenn <...>?“; \‚wissbar sein‘ – ein originalseitiges Merkmal; \...]

·         Vgl.: Die Phänomene bei unterschiedlicher ‚Anlupferei‘ im ebenfalls ‚raumgreifenden’ „Genealogie“-Szenario. ...
– [\zum „Genealogie“-Szenario; \zur ‚Anlupfbarkeit der Dinge‘ im »Kognischen Raum«; \zur ‚Raumgreifung‘ – im »Kognischen Raum«\Prinzipgrafik dazu – in Seitenansicht + in Draufsicht; \„Geltungsbereiche“ + ihre jeweiligen Grenzen; \...]

·         N. B.: Es passierte erst und ganz speziell im Zuge des abstrakten Studiums des „Formelwesens“ und der Lösbarkeit von „Gleichungen“, dass – mehrere Mal in der Geschichte der Mathematik – „ganz neue Arten“ von Zahlen entdeckt wurden. Erst die negativen Zahlen wie - 1 und - 2 und die (überaus praktische) Rolle der ‚Null’, dann irrationale Zahlen wie der Wert von π oder der Wurzel aus 2, die nicht mehr durch Brüche ganzer Zahlen ausgedrückt werden können. Später dann die imaginären und komplexen Zahlen mit ihrem Auftreten der Quadratwurzel aus der Zahl -1 als Unterscheidungsmerkmal. Mit denen sich in „Gleichungen“ und „Formeln“ – immer noch nach denselben mathematischen Regeln – rechnen und argumentieren lässt. Beim weiteren ‚Herumzoomen im Kognischen Raum’ und noch weiter abstrahierenden ‚Raumgreifen’ stieß man später auch auf die „Fraktale“ mit deren ebenfalls ‚wissbaren‘ Besonderheiten.
All das an „Eroberung“ spielte sich innerhalb des „Mathiversums“ ab. Diesem eigenständigen ‚Weltausschnitt’ und »Punkt der Kognik«.
– [\Das – bereits von seiner methodischen Natur her abstraktionskegelförmige – „Mathiversum“; \Das ‚Durchzoombarkeits‘-Paradigma der »Kognik« + \Die Palette der  – generell gültigen – ‚Zoomphänomene‘; \zur schrittweisen ‚Raumgreifung‘ – im »Referenzideal der Abbildung der WELT«; \...; \„Fraktale“ – als solche --- \Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher fest-umrissen zu halten!; \Definitionsgrafik: „Der Punkt der Kognik“ + seine (vorerst)  drei separaten Zonen; \Prinzipgrafik: »Abstraktionskegel« + ‚Geschachtelte Weltausschnitte‘– in Seitenansicht + in Draufsicht; \...]

·         Phänomen: Nicht nur in der Physik kommt es vor, dass in neue „Formeln“ einfach ein „Platzhalter“ eingebaut wird (als zusätzliche „Variable“ oder anpassbarer „Parameter“). Nur um Übereinstimmung zwischen dieser – rein ‚abbildungsseitigen‘ – „Formel“ und den ihr entsprechenden – rein ‚originalseitigen‘ – „Experimentalen Daten“ hinzubekommen. Dabei wird unterstellt, dass der „Platzhalter“ ein vorläufiges Mittel sei, dass nur so lange derart willkürlich dazustehen habe, bis die Wissenschaft herausgefunden hat oder simulieren konnte, für was er wirklich steht. ... [11]
– [\in Grundunterscheidung: ‚Das Originalseitige‘  ˄  versus: ‚Das Abbildungsseitige‘  ˅ ; \(neu erkannte bzw. bloß gemutmaßte) ‚Weiße Flecken in der Wissbarkeitslandschaft‘; \‚Platzhalterwesen‘ + Planquadrate / ‚Plankegel‘ im »Kognischen Raum«; \Tricks zur Darstellung von „Unvorstellbarem“; \...]

·         ...
– [\...; \...]  

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In eigener Sache

·         Der Wissensträgertyp „Mathematische Formel“ ist – trotz besonderer kognitiver Nützlichkeit – beim Laien recht unbeliebt. Ähnlich ergeht es dem Wissensträgertyp ‚Systemische Grafik‘ – trotz dessen ähnlich hoher Beschreibungs- und Explikationsmächtigkeit. Auch dem – anfangs in seinen Merkmalen und Anwendungsmöglichkeiten eher unvorstellbaren – Kernobjekt »Abstraktionskegel« wird es so ergehen. Damit wird die ‚Kognische Kartografie‘ leben müssen. Selbst nach der Entdeckung einer tatsächlichen »LÖSUNG des Puzzles WELT« noch!
– [\„Vorstellungsvermögen“ – Verlegerregel; \‚Systemische Grafik‘ – ein die Dinge teil-unifizierender ‚Wissensträgertyp‘; \Der »Abstraktionskegel« – ein besonders unifizierungsmächtiger ‚Wissensträgertyp‘; \Die Palette der überhaupt verfügbaren ‚Wissensträgertypen’ – \Überblicksgrafik dazu + \dasselbe in Draufsicht; \(einmal) „fertig sein“ mit dem »Unterfangen Weltpuzzle«; \Die »Kognitive Infrastruktur der Menschheit« + \Überblicksgrafik dazu; \»Curriculum zur Kognik«; \„Kontrolljahr 3000“; \...]

·         Mathematikbücher und Veröffentlichungen in mathematischen oder technischen Fachzeitschriften stecken meist voll mit „Formeln“. Bei Veröffentlichungen zur »Kognik« wären es stattdessen wohl „Systemische Grafiken“. Voll mit ‚Seitenansichten‘, ‚Draufsichten‘ und / oder ‚Kognitiven Rundblicken‘ zum jeweiligen Weltausschnitt / Thema / Fragenkomplex.
– [\‚Seitenansichten‘, ‚Draufsichten‘, ‚Blicke von Innen nach Draußen‘; \„Lokale Panoramas“ + deren zwangsläufiger Wechsel  beim Springen zu anderen „Beobachter-Positionen“; \zum unterschiedlichen „Aussehen“ ein und derselben Dinge; \Sammelgrafik: „allerlei an Seitenansichten“ + \allerlei an „Draufsichten auf Abstraktionskegel“; \...; \...]  

·         Um – ‚im Abbildungsseitigen‘ – das „Formelwesen als solches“ doch noch mit dem ‚REST der Tortenstücke an Wissbarkeiten der WELT‘ zu „verzapfen“ und so Alles gemeinsam zu „unifizieren“, müssen erst einmal all die lokalen ( sei es unabhängigen oder abhängigen) ‚Individualitäten‘, ‚Variablen’ und ‚Parameter’ in den als GANZEM gesuchten „Diskursraum“ einbezogen werden: ebenfalls ‚Komponenten im Puzzlesteingas‘. Im »Pusteblumenlogo der Kognik« kämen diese „irgendwo ganz weit außen am Rande“ zu liegen.
                               In ihrem »Gipfellogo« dagegen „irgendwo ganz weit unten“.
– [\Der jeweilige „Diskursraum“ – als solcher + \seine momentane ‚Aufspannung‘; \all die ‚Tortenstücke‘ im »Kognischen Raum«; \zur ‚Kognischen Thermodynamik‘ + ihren Puzzlesteingasen; \Grafik zur Zielvision: „Das all-unifizierende Netzwerk von Teilkegeln“ – in der Seitenansicht auf das GANZE + \„Die Draufsicht dazu“; \zur Erinnerung an die Gestalt + Struktur des im »Unterfangen Weltpuzzle« gesuchten: „Gedankengebäudes“; \zur ‚Verzapfung der Puzzlesteine‘ im »Kognischen Raum«; \‚Ausgezeichneter Blickpunkt‘, Unifizierung + der so besondere Posten des »Privilegierten Beobachters«; \Grafik: „Standard für die Seitenansicht„ eines ‚Weltausschnitts‘ + all seiner Dinge nach deren ‚Transformation in den Kognischen Raum’; \Die Erste unter all den ‚Dimensionen der Welt‘; \‚Achserei‘-Arbeit – als solche; \zur »Allgemeinsten Relativität«; \Das »Ultimative Richtigkeitskriterium zum Puzzle WELT« (qualitativ); \...; \Der LEGE-Raum zum »Puzzle WELT« + \Grafik-Entwurf dazu – in zentrierter Draufsicht für den »Privilegierten Beobachter« schalenweise ‚ausgerollt‘; \„Individualitäten“ + all ihr Einzelnes; \...]

·         Entsprechungen: Im „Formelgehalt“ physikalischer oder mathematischer Abhandlungen dominiert das „Gleichheitszeichen“. In meinen Essays und Texten dagegen finden sich zu den jeweiligen Standort- und Blickwechseln keine „Gleichheitszeichen“. Dort werden, als angehängte Hyperlink-Leisten, „nur“ die jeweils anderen „Knoten in der Umgebung“ genannt. In ihrer mit dem jeweiligen Standort dynamisch wechselnden Konstellation: als ‚Kognitive Nachbarschaft‘. [12]
– [\Der ‚Beobachter der WELT‘; \»Einsheit in Vielheit« – ein originalseitiges Merkmal („zum Nachzeichnen“); \zu all den ‚Nachbarschaftsbeziehungen‘ im »Kognischen Raum«; \„Phänomene“ bei der ‚Verschiebung einer Froschaugenlinse‘ vor einem originalseits fest-ausgewählten Hintergrund; \zur „Soll-Struktur“ meiner Dateien – „Die Hyperlinkleisten“; \Die „Navi“-Metapher der »Kognik«; \...; \...]

·         N. B.: Durch die – in meinen Textformulierungen oft irritierende – Verwendung von „<... /...>“-Passagen mache ich nichts anderes, als an das in der Mathematik und Technik so nützliche Variablenwesen bei den „Formeln“ anzuknüpfen.
                                  Der Lateiner würde dabei an „mutatis mutandis“ denken.
– [\Die „Liesmich“-Datei des Unterfangens; \‚invariant sein‘ (oder nicht) gegenüber „Änderungen“ bei: <…> – ein systemisches Merkmal; \„Was alles wäre anders (oder bliebe unverändert), wenn <...>?“; \zur ‚Mathematik des »Kognischen Raums«’; \‚Strukturelle Systemanalyse’ – als solche; \‚Kognitive Ökonomie‘ – als solche --- \Beispiel: „Edward de Bono - Zusammenfassung“ – als Formulierung direkt auf das »Unterfangen Weltpuzzle« übertragbar!; \zur ‚Hornblower‘-Strategie des »Unterfangen Weltpuzzle«; \...; \...]

·         ...
– [\...; \...]  



[1] --- weil ‚apparativ‘ Niemand und Nichts da war, der oder das diese Leistung überhaupt hätte erbringen können

[2] [Andrew Robinson: “The Story of Measurement”, p. 39]:
There is the tricky question of whether the 'tenth' symbol, for zero, symbolizes the same kind of number as the other nine symbols? If I have five 5 coins in my pocket and pull out 3 of them, 2 coins remain in my pocket. If I take out no coins, then 5 remain. But what does it mean to say that I take 0 coins out of my pocket?

If any of the numbers 1 to 9 is added to any of those same numbers, the result is a different number, for example 2 + 2 = 4, and 7 + 8 = 15. Ditto for subtraction, division and multiplication (though you may get a negative number or a fraction). But with 0 by contrast, adding or subtracting 0 leaves a number unchanged; multiplying any number by 0 always gives the answer 0 [\Varianzen versus: Invarianz]; and dividing any number by 0 presents a perplexing problem. Although we are often taught that dividing by 0 produces infinity, it would be more correct to say that dividing by 0 does not mean anything. You can see why if you take the simple equation 6 x 0 = 8 x 0. In any equation, no matter of what kind, the familiar rule is that if you perform the same operation on each side, the equation will still balance. For example, 4 x 12 = 6 x 8; divide each side by 2, and you get 2  x  6 = 3  x  4. But if we divide each side of 6 x 0= 8 x 0 by 0, we get 6 = 8, which is nonsensical: if it were true, all numbers would be the same, since any two numbers could be substituted in the equation a x 0 = b x 0 with the same result.

The ancient Greek philosophers rejected zero – nothing, the void or vacuum – and infinity not because they were unaware of them but because these concepts appeared to be like a Trojan horse in their system of logic. ...
– [\zur ‚Trojanischen Einschleusbarkeit von Aspekten‘ im »Kognischen Raum«; \paradox sein / scheinen; \„Kartesische“ versus: „Polare“ versus: »Kognische« Koordinaten; \...] 

[3] Diese können wiederum – metamäßig – abgebildet / beschrieben / analysiert werden.
                          („Das mathematische Weltbild“ / „Das Paradigma der Mathematik")
§‚Machbarkeiten’; ‚Kombinierbarkeit’; Dabei hauptsächlich genutzte bzw. ausgesparte ‚Kognitive Freiheitsgrade’; Heutige ‚Weißen Flecken‘ – auch auf dem Wissbarkeitsgebiet der Mathematik; „Das Mathiversum“ – als Unifikation aller dazu gehörigen ‚Wissbarkeiten‘; ...§

[4] Hier gilt es u. a. die Optionen der ‚Durchzoombarkeit’ + all die ‚Latenzierungs-Phänomene’ unterzubringen!
– [\Die Erste unter all den ‚Dimensionen der Welt‘ – \eng daran gekoppelt: Die – abbildungsseitige – ‚Ein- und Ausrollbarkeit‘ der Diskursraumdimensionen, Merkmale, Fragen + Richtigkeitskriterien; \...; \...]

[5] als eigenständiges „Symbol“ erst seit 1557 im mathematischen Gebrauch! – [\„Rhetorische Algebra“; \...]  

[6] In der Algebra dagegen geht es statt um jeweils einen „Punkt im Raum“ als beiderseitigem Ziel gleich um eine bestimmte „Menge“. Um einen irgendwie in sich selbst zusammenhängenden, irgendwie aber auch wieder nach außen zu abgegrenzten, auf jeden Fall jedoch ausgedehnten ‚Weltausschnitt’. Eine ganze Kurve etwa oder ein bestimmter Körper im Raum.
Ähnliche Arten von Umschaufelei um das seiner ‚Bedeutung‘ nach immer gleich-dastehende Gleichheitszeichen herum („Identitäten“) gibt es in der Mathematik also auch für ganze Wertemengen / Kurven / Integrationsbereiche / Formeln / Körper. Und allerlei andere „Arten von Objekt“.
                                §Welche eigentlich alles? – Über deren gesamte Methodik hinweg!§

– [\Der ‚Weltausschnitt’ – als solcher; \„zusammenhängen“ – mal als originalseitiges, mal als (bloß) abbildungsseitiges Merkmal; \„Mengen“ + Mengenlehre; \...; --- vgl. auch das Thema: „Konstanthaltung“; \...]

[7] Trotz der erstaunlichen Leistungen der alten Inder, Griechen und Araber auf dem Gebiet der Mathematik kannten sie weder die uns heute so geläufigen Symbole „ + “, „ - “, „ x bzw. * “ und „ / “ für die vier Grundrechnungsarten. Noch das ‚Gleichheitszeichen‘ („ = “) selbst. Diese tauchen als „Symbole“ einer standardisierten Notation erst ab 15. bzw. dem 16. Jahrhundert unserer Zeit auf. Zuvor musste, wann immer gemeint war, dass „keine zwei Dinge gleicher sein können“ diese ‚Behauptung‘ umständlich ausgeschrieben werden als: „(...) ist gleich mit {...}“. Auf das Zeichen für die Multiplikations-Operation einigte man sich sogar erst Jahrhunderte später. ... – [Peter Wilson: „Ideen“, S. 610]
– [\Der ‚Wissensträger‘: „Verbale Sprache“ – mit seinen Stärken + spezifischen Schwächen; \„Symbole“ – als solche; \„Transformation­en“ – als solche; \„Standardisierung“ – als solche; \„Wann und wie kam <so etwas> überhaupt in die WELT?“; \„<...> ist {...}!“; \...]

[8] Übungen zur ‚Verzapfung‘ rein geometrischer Aussagen mit solchen der Physikalischen Welt:
Nenne für die oben aufgeführten Optionen der Umschaufelung von Termen von der rechten nach der linken Seite des Gleichheitszeichens deren Entsprechungen im „Gleichgewichtsszenario der Balkenwaage“!
Wie eigentlich sieht es aus mit der archimedischen Bestimmung des Schwerpunkts eines <beliebigen> Flächenstücks oder eines Körpers! + Mit: §...§?
– [\...; \...]

[9] Neben dem Beweis der Unmöglichkeit der LÖSUNG dieser Gleichung in einer für alle beliebigen Werte von a, b, c, d, e und f gleichermaßen gültigen „Formel“.  --- Etwas, was im Falle der „linearen“, „quadratischen“, „kubischen“ und auch der „quartischen“ Gleichung – mit ihren entsprechend niedrigeren Potenzen der Variablen x – noch möglich gewesen war!

[10] „Instabil“ ist das Gleichgewicht, wenn die Pendelgewichte beide „oben“ liegen – und damit am weitesten „nach unten fallen“ können. Und wenn sie – eins unterhalb, eins oberhalb ihres gemeinsamen Fixpunkts ebenfalls in vertikaler Richtung – gegenläufig-parallel liegen. Selbst wenn das Pendel mit allerlei Federn und anderen Komponenten versehen würde, ändert sich – wie Stewart beweist – nichts an der Tatsache, dass es beim Doppelpendel mindestens vier Gleichgewichtssituationen geben muss.

[11] Beispiel: Max Planck etwa konnte bei seiner Formel, mit der endlich die Beschreibung der „Strahlung von Schwarzen Körpern“ messdatenkonform gelang, die physikalische Bedeutung der von ihm dort eingebauten Energie-Elemente (die Konstante h multipliziert mit der Frequenz der Strahlung ν) noch gar nicht erklären.
Ähnlich wie Ludwig Boltzmann es Jahre zuvor in seiner „Statistischen Mechanik“ längst angenommen hatte (willkürlich – bei ihm allein aus didaktischen Gründen!), setzte er implizit darauf, dass in der Mikroskopischen Welt „Energie“ nur bröckchenweise existiert. Dass sie quantisiert sei in ganzzahligen Vielfachen dieser von-Natur-aus-unteilbaren „Energie-Elemente“.

[12] Ähnlich gleichheitszeichen-lose „Übergänge“ und „Verknüpfungen“ bieten die „Videoclips zur »Kognik«“.